14. Метод нормальных координат Булгакова

Преобразование к нормальным координатам возможно для систем с линейными элементарными делителями. Дадим его вывод, опираясь на результаты разд. И.

Введем матрицу-столбец

Здесь матрица определяется формулами (3.13), (3.14), матрица и ее элементы — формулами (11.9), (11.10). Для случая однородного уравнения матрица превращается в матрицу, обозначенную той же буквой (см. (7.4), (7.5)), при матрица

Используя свойства матрицы Кейли приведенные в разд. 3, находим элементы матрицы

Само решение (11.8) с учетом формул (11.4), (14.1), (14.2) может быть представлено в виде

Дифференцируя соотношение (14.1) и используя выражение (11.9) для находим

откуда

Здесь матрица В и ее элементы определяются формулами (11.5), (И .6).

Переписывая соотношение (14.3) в скалярной форме, получаем

Аналогично из соотношения (14.4) с учетом свойств матрицы Кейли имеем

Можно считать, что мы вместо неизвестных переменных ввели линейным преобразованием (14.5) новые неизвестные переменные которые носят название нормальных координат. Последние удовлетворяют системе (14.6) линейных дифференциальных уравнений первого порядка, причем каждое из уравнений, отвечающих действительным корням содержит только ответствующую координату а остальные уравнений разбиваются на пар, содержащих по две переменных

Если мы решим систему (14.6), то переменные становятся известными функциями времени. Тогда, подставляя их в формулы (14.5), находим решение для искомых переменных

Формула (11.22) с учетом соотношения (14.1) записывается следующим образом:

Отсюда следует, что

Обозначим через порядок старшей производной от в системе уравнений (10.3). Можно показать, что, если и определитель при старших производных в системе (10.3) не равен нулю, то по формуле (14.8) могут быть выражены через нормальные координаты для значений системы (10.3) и (14.6) эквивалентны между собой.

Для комплексных корней — часто используется другая форма нормальных координат. Чтобы получить ее, введем пар новых скалярных переменных называемых амплитудами и угловыми переменными, по формулам

откуда получаем, что

Учитывая полученное соотношение, перепишем две последние группы формул (14.2) в виде

Введем еще следующие обозначения:

Здесь элемент модального столбца соответствующего корню элементы собственных модальных столбцов Учитывая формулы (14.9) и (14.10), находим

поэтому формулы (14.5) могут быть представлены в виде

Дифференцируя соотношение (14.10) и умножая на имеем

откуда, используя (11.11) и (14.10), получаем, что

Отделяя действительную и мнимую части, находим

Таким образом, нормальные координаты — это амплитуды и угловые переменные Они удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (14.15). Амплитудами также условно называются нормальные координаты удовлетворяющие первой группе системы дифференциальных уравнений (14.6). После того как найдены нормальные координаты решение для искомых переменных находится по формулам (14.13).

Чтобы выразить через нормальные координаты производные от неизвестных введем следующие обозначения:

Принимая во внимание соотношения (11.14), (14.11) и (14.12),

получаем

Учитывая это, переписываем формулу (14.8; в виде

По этой формуле могут быть выражены через нормальные координаты. Как и в формулах (14.8), порядок производной может принимать значения от 0 до где — порядок старшей производной от в системе уравнений (10.3). Нормальные координаты будут использоваться нами далее при исследовании квазилинейных систем приближенными методами.