52. Вынужденные колебания гироскопа в окрестности неизолированного положения равновесия

Рассмотрим движение гироскопа в кардановом подвесе, внешняя ось которого лежит в горизонтальной плоскости, а ось кожуха (внутреннего кольца) направлена по вертикали. Обычно конструкция гироскопа такова, что в нижней опоре имеется подпятник. Поэтому можно считать, что между внешним кольцом и кожухом в нижней точке опоры имеется сферический шарнир; в верхнем же подшипнике имеется люфт, поэтому кожух относительно внешнего кольца имеет три степени углового движения (рис. 51). Будем предполагать, что объект, на котором установлен гироскоп, может двигаться поступательно в горизонтальной плоскости. Свяжем с объектом поступательно перемещающуюся систему координат таким образом, чтобы оси лежали в горизонтальной плоскости и ось была направлена по оси внешнего кольца.

С внешним кольцом свяжем систему осей и обозначим угол поворота внешнего кольца буквой а (рис. 51, 52). Положение осей 11%, связанных с кожухом, определяется в системе координат тремя углами (рис. 53); при этом углы характеризуют движение оси кожуха (оси ), а угол — поворот кожуха вокруг оси Наконец, введем угол у, задающий поворот ротора относительно кожуха.

Проекции угловой скорости внешнего кольца на оси и проекции угловой скорости кожуха на оси имеют вид (здесь и далее точка над буквой означает дифференцирование по времени)

Таблица направляющих косинусов между осями и осями хгуг записывается в следующей форме:

(кликните для просмотра скана)

Для вычисления кинетической энергии гироскопа потребуется определить скорость V центра тяжести кожуха . В соответствии с рис. 54, на котором она выражается формулой или в проекциях на оси

Используя хорошо известные теоремы механики, находим кинетическую энергию движения гироскопа относительно поступательно движущейся системы координат

Здесь — момент инерции внешнего кольца; — моменты инерции кожуха относительно главных осей инерции — полярный и экваториальный моменты инерции ротора; — масса системы кожух ротор; — расстояние между опорами кожуха.

Если при движении кожуха выбирается люфт, то возникает сила реакции (рис. 55, 56), которая в соответствии с законом Герца, связана с радиальным перемещением следующей зависимостью:

Здесь — люфт верхнего подшипника; к — константа Герца, зависящая от материала, числа шариков в геометрических параметрах шарикоподшипника.

Потенциальная энергия деформации имеет вид

Движение оси кожуха в верхнем подшипнике можно задавать через удвоенные координаты центра тяжести в системе координат

Для малых углов перемещения пропорциональны углам соответственно:

Очевидно, что радиальное перемещение равно

Кинетическая энергия гироскопа (52.4) вычислялась в подвижной системе координат поэтому при вычислении обобщенных сил следует принимать во внимание силу инерции переносного движения где — ускорение системы координат перемещающейся поступательно в горизонтальной плоскости.

Разумеется, сила инерции должна быть приложена в центре тяжести кожуха

Будем считать проекции ускорения известными функциями времени и выразим через них проекции ускорения на оси используя таблицу (52.2), и заменяя угол на

Обобщенные силы зависящие от силы инерции, определяются из соотношения

в котором V — скорость точки Используя формулы (52.3) и (52.7), находим (52.8)

Из формул (52.4), (52.5), (52.8) видно, что движение гироскопа с люфтом на оси кожуха описывается сложными нелинейными уравнениями с переменными коэффициентами. Для их решения

применяется метод последовательных приближений, в основу которого кладутся соображения физического характера. Первоначально исследуется движение некоторой порождающей системы, которая получается при следующих предположениях: собственный кинетический момент гироскопа имеет большую величину; углы поворота внешнего кольца и гироскопа малы; нелинейность, определяемая зависимостью (52.5), имеет место на этом этапе исследования.

Очевидно, что собственный кинетический момент гироскопа является величиной постоянной. В первом приближении при достаточно большом кинетическом моменте можно считать, что ось ротора движется поступательно. В связи с этим а или при соответствующем выборе начальных условий

Кинетическая энергия Г для оставшихся обобщенных координат имеет вид

Здесь точки означают члены высшего порядка малости. Радиальное перемещение на данном этапе может быть записано в форме

Из соотношений (52.9), (52.5), (52.8) получаются нелинейные уравнения порождающей системы

Предположим, что движение объекта происходит по закону

Будем искать в системе (52.10) нормальные колебания, для которых выполняется соотношение где — некоторая постоянная, определяемая дальше.

Подставляя (52.11), в систему уравнений (52.10), получаем

Перейдем в уравнениях (52.12) к безразмерным переменным по формулам

в которых для первого уравнения системы (52.12)

а для второго уравнения

В результате уравнения (52.12) записываются в виде

Опустим в уравнении (52.16) индекс и произведем замену переменных

Принимая во внимание уравнения (52.16), получаем для новых переменных а, X следующую систему уравнений:

откуда

Производя осреднение по быстрой переменной X и приравнивая нулю правые части осредненных уравнений, получаем соотношения для нахождения стационарных режимов

(см. скан)

Введем функцию

которая зависит только от безразмерной переменной а и поэтому легко табулируется (см. таблицу).

Исключая из формул (52.21) переменную с учетом (52.22) и разрешая полученное уравнение относительно частоты получаем

Это уравнение представляет собой амплитудно-частотную характеристику нелинейной системы. Такие характеристики при и различных значениях представлены на рис. 57. Пунктирной линией показана скелетная кривая, на которой

Из рис. 57 видно, что при одной и той же частоте внешней силы возможно существование трех установившихся режимов. В работе [15] было показано, что установившиеся колебания устойчивы на тех участках кривой, где и неустойчивые, если Следовательно, колебания с максимальной и минимальной амплитудами будут устойчивы, а средний режим — неустойчив.

Полученные результаты справедливы, если , так как только в этом случае имеет смысл замена переменных (52.13)

Рис. 57

Если же то следует произвести замену переменных по формуле

после чего уравнения (52.12) приводятся к виду (52.16), где х уже является размерной переменной, а функция имеет форму Формулы (52.18) — (52.23) по-прежнему имеют силу; функция записывается в виде (где — гамма-функция Эйлера):

Подставляя в (52.25) соответствующие числовые значения гамма-функции, получаем

Итак, решение уравнений (52.16) найдено. Оно выражается посредством формул (52.18), причем амплитуда а вынужденных колебаний находится с помощью амплитудно-частотной характеристики (52.23), а величина X находится из соотношений (52.20) и (52.21). Соответственно известно решение системы уравнений (52.12). Переменная должна удовлетворять обоим уравнениям системы (52.12), поэтому, приравнивая амплитуды решений этих уравнений, можно найти постоянную введенную в соотношение Если же приравнять фазы, то получим соотношение между сдвигами фаз и 62, при выполнении которого возможен режим прямолинейных нормальных колебаний.

В исследуемой гироскопической системе возможны следующие режимы колебаний: нерезонансные колебания по углу и углу нерезонансные колебания по углу а, резонансные по углу резонансные колебания по углу а и по резонансные колебания по углу а, нерезонансные — по углу

Из физических соображений ясно, что уход гироскопа будет наибольшим во втором режиме. Нетрудно показать, что для этого режима при достаточно большом кинетическом моменте гироскопа постоянная в соотношениях близка к нулю

Вычислим скорость ухода гироскопа для случая, когда по координате происходят резонансные колебания, а по координате а резонанс отсутствует. Применение метода последовательных приближений к системе дифференциальных уравнений движения гироскопа приводит к следующему выражению для момента, вызывающего уход гироскопа вокруг внешней оси:

Косые скобки означают, что от заключенного в них выражения вычисляется средняя по времени величина на порождающем решении:

Для упрощения выкладок перед вычислением производных в выражении для кинетической и потенциальной энергии следует подставить после чего находим

Учитывая формулы (52.8) и (52.27), получаем Отсюда, обращаясь к соотношениям (52.11), (52.18) и (52.13) и принимая во внимание равенство фаз, получаем

Если то