Глава четвертая АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПОНЯТИИ ГРУППЫ ЛИ

44. Метод Пуанкаре—Цейпеля

Излагаемый ниже метод предложен Пуанкаре, который уделил ему довольно много внимания [48]. Сам Пуанкаре этот метод называет методом Линдстета. Цейпель эффективно применял его в задачах небесной механики. В настоящее время этот метод вытеснен более совершенными и имеет лишь историческое значение. Мы приводил! его здесь как вводную часть к последующим разделам. Сравнение его с приводимыми ниже методами демонстрирует те преимущества, которыми сопровождается в асимптотических методах применение теоретико-групповых понятий, таких, как производная Ли, ряд Ли. ряд Хаусдорфа, коммутатор, симметрии и т. п.

В силу сказанного мы изложим лишь основную идею метода, не вдаваясь в разнообразные осложняющие дело детали, связанные в основном с понятием резонанса.

Суть метода состоит в следующем. Пусть рассматриваемая механическая система гамильтонова, т. е. ее уравнения движения имеют вид

где — функция Гамильтона, аналитическая по всем аргументам в некоторой области изменения локальных переменных — -мерный вектор обобщенных координат; — n-мерный вектор обобщенных импульсов; 8 — малый параметр). Пуанкаре принадлежит плодотворная идея преобразовывать для целей асимптотического приведения системы (44.1) к более простому виду не сами уравнения (44.1), а их функцию Гамильтона. Это дает возможность при выполнении преобразований работать не с уравнениями, а с одной скалярной функцией. Для гамильтоновых систем такой подход является самым эффективным. Более того, иногда бывает выгодно и негамильтоновы системы вначале приводить искусственно к гамильтоновой форме посредством расширения размерности фазового пространства в два раза, с тем чтобы в последующем иметь дело лишь со скалярной функцией.

Если система (44.1) близка (в смысле малого параметра ) к точно интегрируемой, то ее гамильтониан может быть приведен к виду

т. е. вырожденная часть от обобщенных координат не зависит,

так что интегрируемая система рассматривается приведенной к виду

Возмущенная часть гамильтониана (44.2) предполагается зависящей от всех с периодом Вырожденная система имеет очевидное решение

Ставится задача найти каноническую замену переменных такую, чтобы в новых переменных уже весь гамильтониан не зависел от обобщенных координат

Необходимая каноническая замена переменных порождается производящей функцией , зависящей от старых координат и новых импульсов [19], так, что сами уравнения замены получаются при помощи функции следующим образом:

Производящая функция ищется в виде ряда

где — скалярное произведение

Поскольку при гамильтониан уже имеет необходимый вид, то должна порождать тождественную замену

Производящая функция, приводящая гамильтониан к указанному виду, носит название характеристической функции Гамильтона, и она удовлетворяет уравнению

Имея в виду (44.2), (44.3) и (44.5), запишем

Раскладывая в ряды и разделяя порядки, получаем

Учитывая, что получаем следующую цепочку линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, позволяющих найти все компоненты производной функции:

Выбирая в виде среднего значения по всем гамильтониана т. е.

для нахождения получаем

Это уравнение легко решается (см. разд. 36). Подставляя найденное решение во второе уравнение (44.7) для получим

что позволяет найти из уравнения

Это уравнение точно того же вида, как и предыдущее. И так далее. Обозначения есть среднее по всем и дополнение к этому среднему.

Описанная процедура носит название нерезонансной, поскольку требует предположения, что частоты не связаны соотношениями типа

с некоторыми целыми, не всеми равными нулю При этом, как и в разд. 22, под резонансом нужно понимать не любые

соотношения вида (44.10), а лишь те из них, которые приводят к разрывности решений уравнений типа (44.8) и (44.9) по со, что влечет за собой нарушение гладкости по и невозможность определения замены (44.4). Методы исследования резонансов в этой задаче аналогичны рассмотренным ранее в гл. II, и мы на них останавливаться сейчас не будем. Основное неудобство описанного подхода состоит в том, что после построения производящей функции требуется еще разрешать замену (44.4) относительно старых переменных. Эта трудность была преодолена Хори, который отказался от производящих функций при преобразованиях гамильтониана и воспользовался для этой цели генераторами Ли.