13. Примеры построения общего решения неоднородных систем линейных уравнений

Пример 1. Система уравнений

имеет матрицы

Характеристическое уравнение имеет корни , к

Присоединенная матрица имеет вид

откуда

Матричное уравнение (11.2) записывается в следующей форме:

из которого

После этого находим

Так как для заданной системы уравнений целая часть равна нулю, то общее решение записывается в форме

откуда

Пример 2. Система уравнений

имеет характеристическое уравнение с корнями Так как элементарные делители матрицы нелинейны (см. пример 4 разд. 9), то решение строится по формулам (10.20) и (10.21), причем

Рассматриваемая система имеет две группы двухкратных корней которые являются комплексно сопряженными. Поэтому возможно вести вычисления для группы корней а для построения полного решения добавить комплексно сопряженные выражения, соответствующие группе корней —

Выполняя вычисления, необходимые для построения функции, находим

после чего в соответствии с формулой (10.21) получаем

Подставляя теперь в формулу (10.20), имеем

Составляющие соответствующие решению однородной системы, были вычислены в примере 4 разд. 9.

Пример 3. Система уравнений

имеет матрицы

и характеристическое уравнение с корнями

Корню соответствуют

и уравнение (11.2)

откуда

Аналогично для корня имеем

Выполняя дальнейшие вычисления, получаем