13. Примеры построения общего решения неоднородных систем линейных уравнений
Пример 1. Система уравнений
имеет матрицы
Характеристическое уравнение
имеет корни
, к
Присоединенная матрица
имеет вид
откуда
Матричное уравнение (11.2) записывается в следующей форме:
из которого
После этого находим
Так как для заданной системы уравнений целая часть
равна нулю, то общее решение записывается в форме
откуда
Пример 2. Система уравнений
имеет характеристическое уравнение
с корнями
Так как элементарные делители матрицы
нелинейны (см. пример 4 разд. 9), то решение строится по формулам (10.20) и (10.21), причем
Рассматриваемая система имеет две группы двухкратных корней
которые являются комплексно сопряженными. Поэтому возможно вести вычисления для группы корней
а для построения полного решения добавить комплексно сопряженные выражения, соответствующие группе корней —
Выполняя вычисления, необходимые для построения функции, находим
после чего в соответствии с формулой (10.21) получаем
Подставляя теперь
в формулу (10.20), имеем
Составляющие
соответствующие решению однородной системы, были вычислены в примере 4 разд. 9.
Пример 3. Система уравнений
имеет матрицы
и характеристическое уравнение
с корнями
Корню
соответствуют
и уравнение (11.2)
откуда
Аналогично для корня
имеем
Выполняя дальнейшие вычисления, получаем