Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 20. Построение высших приближений. Понятие об асимптотическом рядеТочность, с которой получается решение при помощи описанного в предыдущих разделах метода, обычно бывает достаточно высокой, во всяком случае, достаточной для того, чтобы гарантировать достоверность качественных выводов. И все-таки при переходе к осредненной системе исходные дифференциальные уравнения теряют часть свойств, которые могут представлять предмет самостоятельного интереса. Тем самым возникает вопрос о том, нельзя ли как-то уточнить полученную осредненную систему. В идейном плане такая задача решается весьма просто. Перепишем основную систему (18.7) в виде
где Переход к осредненной системе от системы (20.1) соответствует, таким образом, отбрасыванию члена
то отбрасывание при осреднении величины Таким образом, для того чтобы осреднение давало на порядок более высокую точность, достаточно исходную систему (20.1) преобразовать к виду (20.2). Для целей такого преобразования выполняется близкая к тождественной замена переменных
Функцию Дифференцируя соотношение (20.3) с учетом уравнения (20.1) получаем
Разрешая эту систему относительно производной
Совокупность получившихся в системе после преобразования слагаемых второго порядка и выше обозначена через
откуда
Таким образом, исходная точная система (20.1) посредством замены переменных по формулам (20.3), (20.5) приводится к системе
Применяя к (20.6) процедуру осреднения, получим осредненную систему в виде
где
Решение уравнения (20.7) после подстановки в (20.3) дает решение исходной системы (20.1) в периодическом случае с оценкой вида
Константа В должна вычисляться по правым частям системы (20.6). Построенное таким образом решение называется решением второго приближения. В литературе встречается понятие промежуточного между первым и вторым приближениями — «улучшенное» первое приближение. Оно получается, если в замену (20.3) подставлять не решение осредненной системы второго приближения (20.7), а решение осредненной системы первого приближения. То есть приближенное решение имеет вид
где по сравнению с первым приближением добавлен член Несмотря на то, что близость точного решения и улучшенного первого приближения оценивается так же, как и в случае простого первого приближения, улучшенное первое приближение удовлетворяет системе (20.1) точнее, поскольку нескомпенсированным остается лишь член Для построения произвольного приближения можно воспользоваться методом индукции. Пусть система уже приведена к виду, в котором отбрасываемые при осреднении члены имеют порядок
через Требуется заменой переменной
привести систему (20.8) к виду
Повторяя все приведенные выкладки, найдем, что искомая функция
Решение этого уравнения после подстановки в формулу замены (20.9) дает приближенное решение уравнения (20.8), удовлетворяющее оценке
Система, полученная осреднением (20.8), называется системой Рассмотренные процедуры приводят к следующей конструкции. Дана точная система
Строится замена
приводящая эту систему к автономному виду
Получающиеся при этом ряды не являются тейлоровскими разложениями по степеням
Или, разделяя порядки:
Откуда
Условие отсутствия секулярных членов позволяет найти
Рис. 9 Ряды типа (20.12) и (20.13) - носят название асимптотических [59]. Известно, что такие ряды, как правило, расходятся, так что если в формулах (20.12) и (20.13) число членов считать бесконечным, то следует знак равенства заменить на знак соответствия. Для практики вопрос о сходимости асимптотического ряда не имеет никакого значения, поскольку, за исключением элементарных случаев, реально можно построить лишь несколько первых членов. Поэтому вопрос, который представляет интерес, состоит в том, насколько хорошо конечный отрезок ряда приближает неизвестное точное решение. Вот точное определение для рассматриваемой ситуации: ряд
Символ о Таким образом, свойства близости ряда к точному решению определяются не возрастанием
|
1 |
Оглавление
|