20. Построение высших приближений. Понятие об асимптотическом ряде

Точность, с которой получается решение при помощи описанного в предыдущих разделах метода, обычно бывает достаточно высокой, во всяком случае, достаточной для того, чтобы гарантировать достоверность качественных выводов. И все-таки при переходе к осредненной системе исходные дифференциальные уравнения теряют часть свойств, которые могут представлять предмет самостоятельного интереса. Тем самым возникает вопрос о том, нельзя ли как-то уточнить полученную осредненную систему. В идейном плане такая задача решается весьма просто. Перепишем основную систему (18.7) в виде

где , как и раньше, — среднее по времени от функции — функция, среднее значение которой равно нулю, дающая в сумме с исходную правую часть .

Переход к осредненной системе от системы (20.1) соответствует, таким образом, отбрасыванию члена , что и приводит в решении к погрешности типа (19.2). Если бы уравнение (20.1) имело вид

то отбрасывание при осреднении величины привело бы к тому, что в формуле для оценки (19.2) вместо стояло Оценка была бы верна на том же интервале времени

Таким образом, для того чтобы осреднение давало на порядок более высокую точность, достаточно исходную систему (20.1) преобразовать к виду (20.2). Для целей такого преобразования выполняется близкая к тождественной замена переменных

Функцию следует выбрать так, чтобы удовлетворить требуемому условию.

Дифференцируя соотношение (20.3) с учетом уравнения (20.1) получаем

Разрешая эту систему относительно производной находим

Совокупность получившихся в системе после преобразования слагаемых второго порядка и выше обозначена через . Для того чтобы обеспечить требуемое условие, как это видно из (20.4), достаточно выбрать так, чтобы

откуда

Таким образом, исходная точная система (20.1) посредством замены переменных по формулам (20.3), (20.5) приводится к системе

Применяя к (20.6) процедуру осреднения, получим осредненную систему в виде

где

Решение уравнения (20.7) после подстановки в (20.3) дает решение исходной системы (20.1) в периодическом случае с оценкой вида

Константа В должна вычисляться по правым частям системы (20.6). Построенное таким образом решение называется решением второго приближения. В литературе встречается понятие промежуточного между первым и вторым приближениями — «улучшенное» первое приближение. Оно получается, если в замену (20.3) подставлять не решение осредненной системы второго приближения (20.7), а решение осредненной системы первого приближения. То есть приближенное решение имеет вид

где по сравнению с первым приближением добавлен член

Несмотря на то, что близость точного решения и улучшенного первого приближения оценивается так же, как и в случае простого первого приближения, улучшенное первое приближение удовлетворяет системе (20.1) точнее, поскольку нескомпенсированным остается лишь член т. е. второго порядка малости. Затраты на построение улучшенного первого приближения существенно меньше, чем при построении второго приближения.

Для построения произвольного приближения можно воспользоваться методом индукции. Пусть система уже приведена к виду, в котором отбрасываемые при осреднении члены имеют порядок :

через обозначена функция, среднее значение которой равно нулю (отбрасываемая при осреднении).

Требуется заменой переменной

привести систему (20.8) к виду

Повторяя все приведенные выкладки, найдем, что искомая функция выражается той же формулой (20.5), в которой стоит лишь соответствующее . Осредненное уравнение для (20.10) имеет вид

Решение этого уравнения после подстановки в формулу замены (20.9) дает приближенное решение уравнения (20.8), удовлетворяющее оценке

Система, полученная осреднением (20.8), называется системой -го приближения, система (20.11) — системой приближения. С каждым приближением точность решения увеличивается на один порядок.

Рассмотренные процедуры приводят к следующей конструкции. Дана точная система

Строится замена

приводящая эту систему к автономному виду

Получающиеся при этом ряды не являются тейлоровскими разложениями по степеням поскольку стоящие при степенях 8 коэффициенты сами зависят от е. Цель преобразования (20.12), состоящая в приведении неавтономной системы к автономному виду (20.13), может быть достигнута и без привлечения использованных выше идей осреднения функций. Однако лишь благодаря осреднению коэффициенты ряда (20.12) оказываются ограниченными функциями времени. Итак, метод осреднения в произвольном приближении можно определить как метод, позволяющий привести неавтономную систему к автономному виду с заданной точностью при помощи ограниченных при любом преобразований. Такая постановка задачи представляет собой обобщение приема Пуанкаре—Линдстета борьбы с секулярными членами, который обычно иллюстрируется примером уравнения Дуффинга Пытаясь построить решение с начальными условиями в виде ряда Тейлора находим откуда Коэффициенты такого ряда — неограниченные функции времени. Хотя этот ряд и сходится, никакое конечное число его членов не дает правильного представления о поведении решения при любых Прием избавления от секулярных (зависящих от времени степенным образом) членов и состоит в замене ряда Тейлора рядом по степеням с зависящими от же коэффициентами: где Величины находятся в процессе построения разложения из условия отсутствия секулярных членов. Подстановка решения в этой форме в уравнение дает

Или, разделяя порядки:

Откуда

Условие отсутствия секулярных членов позволяет найти . И так далее.

Рис. 9

Ряды типа (20.12) и (20.13) - носят название асимптотических [59]. Известно, что такие ряды, как правило, расходятся, так что если в формулах (20.12) и (20.13) число членов считать бесконечным, то следует знак равенства заменить на знак соответствия. Для практики вопрос о сходимости асимптотического ряда не имеет никакого значения, поскольку, за исключением элементарных случаев, реально можно построить лишь несколько первых членов.

Поэтому вопрос, который представляет интерес, состоит в том, насколько хорошо конечный отрезок ряда приближает неизвестное точное решение. Вот точное определение для рассматриваемой ситуации: ряд называется асимптотическим для решения если

Символ о обозначает любую функцию а такую, что

Таким образом, свойства близости ряда к точному решению определяются не возрастанием а убыванием е. При фиксированном с ростом погрешность вначале убывает, затем, начиная с некоторого номера, возрастает (если ряд расходится). Это оптимальное число приближений тем выше, чем меньше (рис. 9). Доказанная выше теорема позволяет утверждать, что приближенное решение, получаемое изложенным в настоящем разделе приемом, представляет собой асимптотический ряд. Для построения асимптотического ряда, как это следует из изложенного, функция должна иметь столько производных по х, сколько приближений предполагается построить. Никаких предположений относительно свойств этой функции по кроме уже оговоренных в условиях теоремы 1, не делается. Если же — гладкая функция , то этим можно воспользоваться для упрощения результатов, учитывая в разложении X по 8 лишь столько членов, сколько это соответствует принятой точности.