Глава первая. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1. Основные понятия теории матриц

Матрицей называется набор чисел (действительных или комплексных), образующих прямоугольную таблицу:

Указанная матрица имеет строк и столбцов, т. е. она имеет размерность Сокращенная запись матрицы имеет вид

При мы имеем матрицу-столбец

при — матрицу-строку

Из элементов матрицы, стоящих на местах пересечения некоторых строк и столбцов матрицы а, образуется субматрица:

Если субматрица квадратная, то ее определитель

называется минором порядка I матрицы а. Матрица имеет ранг если хотя бы один из миноров порядка не равен нулю, в то время как все миноры более высоких порядков обращаются в нуль. Разность между наименьшим из чисел и рангом называется дефектом матрицы.

Если определитель квадратной матрицы а

то матрица а называется особой; в противном случае — неособой.

Если строки матрицы превратить в столбцы, то из матрицы а мы получаем транспонированную матрицу ат. Для элементов матриц имеет место равенство

Сложение (вычитание) матриц и умножение матрицы на скаляр подчиняется следующим правилам:

Произведением двух матриц является матрица

Из этой формулы видно, что перемножать можно только конформные матрицы (число столбцов левой перемножаемой матрицы равно числу строк правой матрицы).

Обозначим алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы через Для его вычисления нужно вычеркнуть 7-ю строку и столбец в матрице вычислить определитель полученной матрицы и умножить его на Если из алгебраических дополнений составить квадратную матрицу, а потом ее транспонировать, то мы получим присоединенную к матрице а матрицу

Известно, что

Из соотношений (1.7) и (1.8) получаем, что

где единичная матрица

Если матрица а неособая, то она имеет обратную матрицу

В соответствии с формулами (1.5), (1.9), (1.10) получаем

Квадратная матрица, у которой все элементы, не расположенные на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Произведение двух диагональных матриц представляет собой диагональную матрицу

Скалярным произведением двух -мерных векторов

в случае действительных координат называется число

Рассматривая запись такого вектора в качестве матрицы-столбца, скалярное произведение можно представить с помощью произведения матриц так:

Векторы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Билинейной формой от двух -мерных векторов называется многочлен с числовыми коэффициентами, однородный и имеющий первую степень относительно координат каждого из векторов:

Матрица а называется матрицей билинейной формы.

Если положить , то билинейная форма превратится в однородный многочлен второй степени от переменных называемый квадратичной формой относительно этих переменных.

Разные билинейные формы могут определять одну и ту же квадратичную форму.

Взаимнооднозначное соответствие между билинейными и квадратичными формами получается, если ограничить матрицы билинейной формы классом симметрических матриц:

Для симметрических матриц

Любая квадратичная форма получается единственным образом из симметрической билинейной формы. Соответствующая ей симметрическая матрица называется матрицей квадратичной формы. Квадратичная форма

называется положительно определенной, если для любых значений координат не все из которых равны нулю, и отрицательно определенной, если

Симметрическая матрица а называется положительно определенной если соответствующая ей квадратичная форма положительно определена.