Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5. Собственные движения линейной системы с линейными элементарными делителямиОбратимся теперь к вопросу интегрирования обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Введем символический оператор дифференцирования по времени
Представим производные
где Будем рассматривать линейное однородное матричное уравнение вида
В нем
элементы матриц
являются постоянными скалярами. Соответствующая уравнению (5.2) скалярная система имеет следующую форму:
Очевидно, что справедливы следующие соотношения:
Будем искать частное решение уравнения (5.2) в виде
где
которое эквивалентно системе
линейных алгебраических уравнений относительно постоянных Предположим сначала, что
В соответствии с формулой (1.8) определитель
Так как корень Составим присоединенную к
Обозначим один из столбцов матрицы
Таким образом, элементы столбца
Здесь Пусть теперь Если все элементарные делители, относящиеся ко всем корням характеристического уравнения, линейны, то найденные частные решения будут содержать столько произвольных постоянных, какова степень
В общем случае при наличии кратных корней может иметь место неравенство Пример 1. Имеем систему дифференциальных уравнений
Соответствующая матрица:
ее характеристическое уравнение Присоединенная к
Соответственно
В качестве модальных столбцов возьмем те, которые пропорциональны столбцам матриц
после чего выписываем общее решение в виде
откуда
Пример 2. Для системы дифференциальных уравнений
соответствующая матрица
Ее характеристическое уравнение
Так как в рассматриваемом случае элементарные делители, соответствующие корню
два последних могут быть отброшены, так как они являются следствием первого уравнения. В качестве линейно независимых столбцов могут быть взяты столбцы
Для третьего корня
В качестве столбца
Теперь выписываем общее решение в виде
откуда
|
1 |
Оглавление
|