5. Собственные движения линейной системы с линейными элементарными делителями

Обратимся теперь к вопросу интегрирования обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Введем символический оператор дифференцирования по времени

Представим производные как символические произведения степеней оператора на Линейное дифференциальное выражение может быть записано в виде

где

Будем рассматривать линейное однородное матричное уравнение вида

В нем

элементы матриц

являются постоянными скалярами.

Соответствующая уравнению (5.2) скалярная система имеет следующую форму:

Очевидно, что справедливы следующие соотношения:

Будем искать частное решение уравнения (5.2) в виде

где — матрица-столбец с неизвестными постоянными; к — неизвестная скалярная постоянная. Подставляя х в (5.2) и учитывая формулы (5.5), после сокращения на получаем уравнение

которое эквивалентно системе

линейных алгебраических уравнений относительно постоянных . Она допускает решения, отличные от тривиального если Уравнение носит название характеристического уравнения.

Предположим сначала, что имеет корней и все эти корни простые. Для каждого из них неизвестные постоянные их, определяются из системы

В соответствии с формулой (1.8) определитель где — алгебраическое дополнение элемента в матрице Поэтому Учитывая это, находим

Так как корень характеристического уравнения простой, то , следовательно, среди алгебраических дополнений имеются такие, которые не обращаются в нуль при

Составим присоединенную к матрицу которая составляется из алгебраических дополнений элементов, а потом транспонируется. В соответствии с (1.8) имеем

Обозначим один из столбцов матрицы среди элементов которого есть отличные от нуля, через Очевидно, что

Таким образом, элементы столбца удовлетворяют системе (5.8). Частное решение уравнения (5.2), как видно из (5.6), записывается в форме

Здесь — произвольная постоянная.

Пусть теперь т. е. корень является -кратным корнем характеристического уравнения Обозначим через ранг матрицы и через ее дефект, который равен числу элементарных делителей, соответствующих данному корню (разд. 4). Известно, что в этом случае система (5.8) имеет та линейно независимых решений, каждое из которых находится с точностью до произвольного постоянного множителя. Если все элементарные делители, соответствующие корню ко, линейны, то . В этом случае для и мы получаем линейно независимых решений которым соответствуют частные решения системы дифференциальных уравнений (5.4). При этом число произвольных постоянных в этой группе решений равно кратности корня. Столбцы мы будем называть модальными столбцами.

Если все элементарные делители, относящиеся ко всем корням характеристического уравнения, линейны, то найденные частные решения будут содержать столько произвольных постоянных, какова степень характеристического уравнения. Общее решение системы дифференциальных уравнений (5.4) имеет вид

В общем случае при наличии кратных корней может иметь место неравенство т. е. среди элементарных делителей будут встречаться нелинейные. В этом случае описанным ранее методом мы не можем найти требуемого числа частных решений. Для нахождения общего решения нужно прибегать к методу, изложенному в следующем разделе.

Пример 1. Имеем систему дифференциальных уравнений

Соответствующая матрица:

ее характеристическое уравнение имеет корни

Присоединенная к матрица:

Соответственно

В качестве модальных столбцов возьмем те, которые пропорциональны столбцам матриц и Находим

после чего выписываем общее решение в виде

откуда

Пример 2. Для системы дифференциальных уравнений

соответствующая матрица имеет вид

Ее характеристическое уравнение имеет корни Вычисляя детерминантные делители матрицы находим, что Отсюда инвариантные множители и элементарные делители

Так как в рассматриваемом случае элементарные делители, соответствующие корню линейны, то система (5.11), в которой нужно положить и заменить имеет два линейно независимых решения. Действительно, из трех уравнений

два последних могут быть отброшены, так как они являются следствием первого уравнения. В качестве линейно независимых столбцов могут быть взяты столбцы

Для третьего корня имеем

В качестве столбца могут быть взяты алгебраические дополнения к элементам первой строки этой матрицы, которые следует расположить в виде столбца:

Теперь выписываем общее решение в виде

откуда