Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 45. Метод ХориМы изложим этот метод в форме, наиболее близкой к тем идеям, которые будут излагаться в последующих разделах. Пусть механическая система описывается гамильтонианом
Смысл переменных и условия на гамильтониан те же, что и в разд. 44. Гамильтониан
Пусть решение ее известно:
где х, у — произвольные постоянные интегрирования:
Рассматривая (45.2) как каноническую замену переменных, гамильтониан (45.1) можно преобразовать к виду
(используется та же буква для обозначения преобразованного гамильтониана). Время удобно считать фазовой переменной (обобщенной координатой), для чего к гамильтониану необходимо добавить сопряженную переменную (обобщенный импульс)
Так что уравнения движения системы в стандартной форме приобретают вид
или
Цель дальнейших преобразований состоит в том, чтобы привести систему (45.4) к виду, в котором правые части от времени не зависят. Это эквивалентно тому, чтобы гамильтониан привести к независящему от
и может рассматриваться как функция Гамильтона некоторой вспомогательной системы:
Время Фазовый поток этой системы представляет собой однопараметрическую подгруппу
Решения системы (45.6) с начальными условиями по х и у, при Новый гамильтониан связан со старым следующим образом: Г,
т. е. дело сводится к преобразованию скалярной функции посредством однопараметрической группы преобразований с оператором (45.7). Связь между исходной и преобразованной функцией задается рядом Ли (см. разд. 35)
В отличие от разд. 35 здесь удобно уравнениями (45.6) определять старые переменные через новые, а не наоборот. В формуле (45.9) поэтому
Внесем в (45.9) представления всех входящих сюда функций в виде рядов по в, а также положим
где
Разделяя порядки, получаем цепочку соотношений
Здесь использовано известное в механике обозначение для скобки Пуассона
Соотношения (45.10) задают в явной форме компоненты нового гамильтониана через компоненты старого, если генератор Ли, определяющий каноническую замену переменных, задан. Этот генератор можно выбирать, накладывая на новый гамильтониан К желаемые условия. В частности, требование, чтобы он не зависел от времени, можно удовлетворить, поступая следующим образом. Выберем
Это приводит к следующему уравнению для нахождения
с очевидным решением
где Подставив это выражение для
что позволяет найти
Таким образом, процедура позволяет найти все компоненты оператора. Новый гамильтониан имеет вид
И соответствующие ему уравнения автономны:
Связь новых переменных со старыми определяется формулами
Процедура приведения исходного гамильтониана (45.1) к виду (45.11), как следует из изложенного, состоит из последовательного выполнения двух канонических преобразований: первое — переход к константам интегрирования вырожденной интегрируемой задачи, второе — приведение к автономной форме при помощи рядов Ли. В оригинальном изложении Хори эти два преобразования переставлены местами и целью всей процедуры является получение нового автономного гамильтониана. В изложенном виде метод Хори представляет собой метод асимптотического интегрирования гамильтониановых одночастотных систем в стандартной форме (см. разд. 18). Как и изложенный выше метод Пуанкаре—Цейпеля, метод Хори неприменим в резонансном случае. Формализация понятия «резонанс» в рамках представления исходной системы в одночастотной форме менее удобна, чем в рамках многочастотной формы. Последнее будет выполнено в разд. 47.
|
1 |
Оглавление
|