45. Метод Хори

Мы изложим этот метод в форме, наиболее близкой к тем идеям, которые будут излагаться в последующих разделах.

Пусть механическая система описывается гамильтонианом

Смысл переменных и условия на гамильтониан те же, что и в разд. 44. Гамильтониан определяет интегрируемую систему

Пусть решение ее известно:

где х, у — произвольные постоянные интегрирования:

Рассматривая (45.2) как каноническую замену переменных, гамильтониан (45.1) можно преобразовать к виду

(используется та же буква для обозначения преобразованного гамильтониана).

Время удобно считать фазовой переменной (обобщенной координатой), для чего к гамильтониану необходимо добавить сопряженную переменную (обобщенный импульс)

Так что уравнения движения системы в стандартной форме приобретают вид

или

Цель дальнейших преобразований состоит в том, чтобы привести систему (45.4) к виду, в котором правые части от времени не зависят. Это эквивалентно тому, чтобы гамильтониан привести к независящему от виду. Канонические замены переменных, осуществляющих такое приведение: будем строить не с помощью производящей функции, как это делается в методе Пуанкаре—Цейпеля, а с помощью генератора Ли. Генератор Ли представляет собой функцию тех же переменных, что и гамильтониан (45.3):

и может рассматриваться как функция Гамильтона некоторой вспомогательной системы:

Время преобразованию не подвергается.

Фазовый поток этой системы представляет собой однопараметрическую подгруппу — параметр) бесконечномерной группы Ли канонических преобразований фазового пространства в себя. Эта подгруппа и используется в методе Хори. Ее инфинитезимальный оператор (см. разд. 33) имеет вид

Решения системы (45.6) с начальными условиями по х и у, при равными соответственно и и у, и определяют искомую каноническую замену.

Новый гамильтониан связан со старым следующим образом:

Г,

т. е. дело сводится к преобразованию скалярной функции посредством однопараметрической группы преобразований с оператором

(45.7). Связь между исходной и преобразованной функцией задается рядом Ли (см. разд. 35)

В отличие от разд. 35 здесь удобно уравнениями (45.6) определять старые переменные через новые, а не наоборот. В формуле (45.9) поэтому

Внесем в (45.9) представления всех входящих сюда функций в виде рядов по в, а также положим

где

Разделяя порядки, получаем цепочку соотношений

Здесь использовано известное в механике обозначение для скобки Пуассона

Соотношения (45.10) задают в явной форме компоненты нового гамильтониана через компоненты старого, если генератор Ли, определяющий каноническую замену переменных, задан. Этот генератор можно выбирать, накладывая на новый гамильтониан К желаемые условия. В частности, требование, чтобы он не зависел от времени, можно удовлетворить, поступая следующим образом. Выберем из второго уравнения (45.10) так:

Это приводит к следующему уравнению для нахождения

с очевидным решением

где — произвольная постоянная интегрирования.

Подставив это выражение для в правую часть третьего уравнения (45.10), найдем в виде

что позволяет найти

Таким образом, процедура позволяет найти все компоненты оператора. Новый гамильтониан имеет вид

И соответствующие ему уравнения автономны:

Связь новых переменных со старыми определяется формулами

Процедура приведения исходного гамильтониана (45.1) к виду (45.11), как следует из изложенного, состоит из последовательного выполнения двух канонических преобразований: первое — переход к константам интегрирования вырожденной интегрируемой задачи, второе — приведение к автономной форме при помощи рядов Ли. В оригинальном изложении Хори эти два преобразования переставлены местами и целью всей процедуры является получение нового автономного гамильтониана. В изложенном виде метод Хори представляет собой метод асимптотического интегрирования гамильтониановых одночастотных систем в стандартной форме (см. разд. 18). Как и изложенный выше метод Пуанкаре—Цейпеля, метод Хори неприменим в резонансном случае. Формализация понятия «резонанс» в рамках представления исходной системы в одночастотной форме менее удобна, чем в рамках многочастотной формы. Последнее будет выполнено в разд. 47.