Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 34. Однопараметрические группы. Теорема единственностиВ дальнейшем речь будет идти в основном об однопараметрических (или одночленных) группах (33.1). В предыдущем параграфе уже упоминалась вторая теорема Ли: всякая Теорема верна и для случая Теорема. По заданному инфинитезимальному оператору Доказательство. Введем для краткости обозначения:
Тогда формулы (33.1) перепишутся в виде
Запишем также групповую операцию. Если
Надлежит доказать, что если известна первая производная группы по
После чего осуществим переход
где
Рис. 38 Здесь использовано, что
Переходя к пределу, получим
Так как
При этом единственность группы следует из теоремы о существовании и единственности решения начальной задачи Коши, что в данном случае имеет место в силу аналитичности правых частей. Если заменить параметр
то уравнение (34.2) приобретает вид
Правая часть его определяется лишь оператором группы. Решая его, мы и восстанавливаем группу полностью с точностью до замены параметра (34.3). Теорема доказана. Замечание 1. Доказанная теорема означает, что между всеми одночленными группами на плоскости (вообще в Замечание 2. Параметр Пример. Найти групповую операцию и канонический параметр в группе подобия
Пусть следующее преобразование выполняется с параметром
Значит, групповая операция имеет вид
Обратный элемент
Вычисляем производную
Находим функцию
откуда
Канонический параметр
Выражение группы через канонический параметр:
Выберем один из операторов проективной группы и восстановим по нему ее однопараметрическую подгруппу Дифференциальные уравнения, определяющие эту подгруппу, имеют вид
Решение этой начальной задачи Коши есть
Выбирая любой оператор из алгебры Ли операторов группы, можно построить таким образом все однопараметрические ее подгруппы.
|
1 |
Оглавление
|