34. Однопараметрические группы. Теорема единственности

В дальнейшем речь будет идти в основном об однопараметрических (или одночленных) группах (33.1). В предыдущем параграфе уже упоминалась вторая теорема Ли: всякая -параметрическая труппа порождает -мерную алгебру, и обратно: всякая -мерная алгебра операторов порождает группу той же размерности.

Теорема верна и для случая однако в этом случае уже имеет нелокальный характер.

Теорема. По заданному инфинитезимальному оператору группа (33.1) восстанавливается единственным образом (с точностью до замены параметра ).

Доказательство. Введем для краткости обозначения:

Тогда формулы (33.1) перепишутся в виде

Запишем также групповую операцию. Если то

Надлежит доказать, что если известна первая производная группы по в нуле: то мы знаем не только ее линейную часть (т. е. ядро), но и весь ряд полностью. (В случае функций, не имеющих отношения к группам, для построения всего ряда необходимо знать все производные в нуле.) Рассмотрим при выбранном фиксированном значении малую вариацию Причем переход в точку осуществим так. Вначале вернемся в точку выполнив преобразование

После чего осуществим переход

где — сколь угодно малая вариация параметра. Композиция этих преобразований дает

Рис. 38

Здесь использовано, что а также обозначено

Переходя к пределу, получим

Так как в этом соотношении произвольно и оно должно обращаться в тождество по при подстановке в него (34.1), то это означает, что группа (34.1) может быть получена из (34.2), рассматриваемого как дифференциальное уравнение с начальным условием

При этом единственность группы следует из теоремы о существовании и единственности решения начальной задачи Коши, что в данном случае имеет место в силу аналитичности правых частей. Если заменить параметр

то уравнение (34.2) приобретает вид

Правая часть его определяется лишь оператором группы.

Решая его, мы и восстанавливаем группу полностью с точностью до замены параметра (34.3). Теорема доказана.

Замечание 1. Доказанная теорема означает, что между всеми одночленными группами на плоскости (вообще в и всеми автономными обыкновенными дифференциальными уравнениями с аналитическими правыми частями существует взаимнооднозначное соответствие (с точностью до несущественной замены параметра).

Замечание 2. Параметр определяемый выражением (34.3), носит название канонического. Построение группы при помощи решения автономного уравнения определяет эту группу автоматически через канонический параметр. Каноничность параметра состоит в том, что групповая операция для него имеет простейший вид: а обратный элемент выражается так:

Пример. Найти групповую операцию и канонический параметр в группе подобия

Пусть следующее преобразование выполняется с параметром

Значит, групповая операция имеет вид

Обратный элемент

Вычисляем производную

Находим функцию

откуда

Канонический параметр

Выражение группы через канонический параметр:

Выберем один из операторов проективной группы и восстановим по нему ее однопараметрическую подгруппу

Дифференциальные уравнения, определяющие эту подгруппу, имеют вид

Решение этой начальной задачи Коши есть

Выбирая любой оператор из алгебры Ли операторов группы, можно построить таким образом все однопараметрические ее подгруппы.