55. Эффект инертности упругих волн в симметричных упругих телах

В этом разделе и в двух последующих изучается эффект, положенный недавно в основу создания нового датчика инерциальной информации. Этот датчик основан на физическом принципе, ранее не использовавшемся для получения инерциальной информации.

Этот новый физический принцип — инертные свойства упругих волн. Для его пояснения обратимся к примеру бесконечно натянутой струны (рис. 67), которая деформирована изображенным на рисунке образом, и сообщим этой форме деформации скорость, равную скорости распространения волны в струне. Эта деформация будет перемещаться по струне с постоянной скоростью как жесткое тело, нисколько не изменяя со временем своей конфигурации. Такое явление в сплошных средах получило название солитона, или уединенной волны. Оно наблюдается в средах без дисперсии, в которых скорость распространения синусоидальной волны не зависит от ее длины, а также и в средах с дисперсией при наличии определенного вида нелинейности. В физике солитоны рассматриваются как модельное воплощение корпускулярно-волнового дуализма: с одной стороны, это, безусловно, волна, с другой стороны, неизменность конфигурации приводит к ассоциации с частицей.

Если бы на движение среды с ускорением относительно инерциального пространства (в случае струны это движение струны вдоль нее самой) солитон реагировал ускоренным движением относительно среды, но в обратную сторону (как это имеет место в

случае свободной материальной точки, если ее движение наблюдать в инерциальной системе координат), то сходство солитона с частицей было бы уже не чисто внешним, а имело гораздо более глубокие основания.

Подобные явления имеют место в реальности и позволяют говорить об инертных свойствах волн. Мы будем рассматривать их на примере стоячих волн в упругой среде.

Объектом анализа является тонкое упругое кольцо, имеющее возможность совершать изгибные колебания в своей плоскости. Оказывается, волны в этом кольце обладают инертными свойствами. Представим себе, что в нем возбуждены стоячие волны, соответствующие колебаниям по первой основной форме (рис. 68).

Рис. 67

И пусть после этого тело кольца приведено во вращение относительно инерциального пространства с некоторой зависящей от времени угловой скоростью Возникает вопрос: как на это движение кольца будет реагировать стоячая волна? Если бы имели дело с твердым телом, закрепленным на основании без трения вдоль некоторой оси, проходящей через центр масс этого тела, то на подобное вращение основания рассматриваемое тело, оставаясь неподвижным относительно инерциального пространства, реагировало бы поворотом относительно основания на угол

Такое поведение тела прямо связано с его инертными свойствами, между как с поворотом стоячей волны перенос материи никак не связан, поэтому и ответ на поставленный выше вопрос далеко не очевиден. Для ответа на него требуется обратиться к уравнениям динамики кольца. Эти уравнения в предположении нерастяжимости срединной линии кольца выведены в [32] в виде

где — смещение точек кольца вдоль радиуса.

Если обозначить через угол, который определяет положение осей стоячей волны относительно основания, то уравнение (55.2) определяет оператор

который и требуется получить в явной форме. По внешнему виду уравнения (55.2) про этот оператор трудно что-либо сказать, начиная с того, существует ли он вообще: ведь стоячая волна в кольце, возбужденная в нем, пока вращения не было, при появлении вращения может просто разрушиться. Если же волна не

разрушается и оператор (55.2) существует, то остается неясным, является ли он линейным: в уравнении (55.2) имеются члены с произведением на

Чтобы найти оператор, следует вначале решить для уравнения (55.2) начальную задачу Коши: граничные условия — это условия периодичности, начальные условия соответствуют стоячей волне, эволюцию которой мы и хотим проследить.

Осуществим в уравнении (55.2) замену независимой переменной по формуле

где — функция времени, подлежащая в дальнейшем определению.

Рис. 68

Функцию выраженную через новую переменную обозначим Имеют место следующие соотношения:

Подставляя их в уравнение (55.2), получаем (опустим при этом всюду при звездочку)

Заметим, что существованию у уравнения (55.6) частного решения вида

препятствует наличие в уравнении заключенных в квадратные скобки членов. Эти члены характеризуют несамосопряженную часть дифференциального оператора (55.6).

Если удастся подобрать функцию так, чтобы эти члены обратились в нуль, то это и будет означать, что во вращающейся системе координат, характеризуемой преобразованием (55.4), имеет место стоячая волна вида (55.7). При переходе к системе координат, связанной с кольцом, решенце (55.6) будет определять прецессирующую волну

Для обращения в нуль несамосопряженной части оператора (55.6) достаточно выполнения равенств

Переопределенная система (55.9) определяет единственную неизвестную функцию Условия периодичности по приводят к соотношениям:

Эта система совместна и удовлетворяется решением

которое зависит от номера волны к, так что несамосопряженная часть оператора (55.6) может быть уничтожена преобразованием (55.4) только вдоль гармонической по волны.

Оставшаяся самосопряженная часть

определяет закон колебаний стоячей волны по времени . В случае постоянной угловой скорости закон колебаний оказывается гармоническим:

Выражение (55.10) и есть искомый оператор (55.3). Он представляет собой линейный интегральный оператор, отличающийся от оператора (55.1) для инертного тела лишь коэффициентом перед интегралом.

Таким образом, стоячие волны в упругом кольце могут служить датчиком инерциальной информации, как и инертное твердое тело:

Этот результат является точным и получен для уравнения с переменными коэффициентами, так как со считается произвольной функцией. Этот факт и характеризует то яркое физическое свойство, которое можно называть свойством инертности упругих волн в кольце. Совместность уравнений переопределенной системы (55.9), приведшая к существованию оператора (55.10), является следствием сразу двух обстоятельств: линейные относительно о и (о члены в уравнении (55.2) определяют силы, имеющие обобщенный потенциал, и все уравнение допускает группу сдвига по независимой переменной Невыполнение одного из условий приводит к отсутствию эффекта.

Рассмотрим теперь вопрос о построении общего решения уравнения (55.2) в случае произвольно меняющейся скорости с тем чтобы иметь информацию не только о законе прецессии стоячей волны, но и об эволюции ее амплитуды.

Рассмотрим вначале случай . Разыскивая частное решение уравнения (55.2) в виде , где и — неизвестные константы, получаем для их определения соотношения

откуда находим

Следовательно, общее решение уравнения (55.2) записывается так:

где — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями.

Таким образом, мы приходим к тем же выводам, которые были сделаны выше: во вращающемся кольце возбужденная форма колебаний поворачивается относительно кольца на угол относительно инерциального пространства эта форма поворачивается на угол Рассмотрим теперь общий случай переменной угловой скорости со Для этого будем решать уравнение (55.2) методом осреднения, полагая Кроме этого, будем считать со медленно меняющейся функцией времени. Это означает следующее: является малой величиной, имеет порядок

Приведем уравнение (55.2) к стандартной форме заменой переменных по следующим формулам:

что приводит к дополнительному условию

Дифференцируя по получаем

Подставляя теперь соотношения (55.14), (55.16) в уравнение (55.2), имеем

Полагая и приравнивая нулю в уравнениях (55.15), (55.17) коэффициенты при получаем следующую бесконечную систему дифференциальных уравнений, эквивалентную исходному уравнению (55.2) в частных производных:

где

В соответствии со сделанными предположениями имеет порядок — порядок . Выполним в уравнениях

(55.18) замену, устраняющую быстро меняющиеся члены первого порядка малости:

Введем матрицу-столбец Тогда система уравнений (55.18) переписывается в виде матричного уравнения

Слагаемое представляет собой малые члены порядка Это уравнение в результате замены (55.20), записываемой в матричной форме:

с точностью до членов порядка приводится к виду

откуда в рамках принятой точности имеем

или

Компоненты полученного уравнения являются медленно меняющимися функциями времени, поэтому здесь применим метод осреднения. Осредним правые части уравнения по времени считая , постоянными и принимая во внимание (55.18)-(55.22). В результате получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

Эти уравнения близки по структуре к уравнениям гирокомпаса Геккелера [34], отличаясь от них лишь зависящими от ускорения со членами. Точно так же, как и уравнения гирокомпаса Геккелера, уравнения (55.23) допускают точное интегрирование при произвольном изменении угловой скорости Для этой цели сделаем еще одну замену переменных

с постоянной матрицей

которая обладает свойствами . В результате такой замены система (55.23) распадается на две независимые подсистемы:

Полученные подсистемы путем введения комплексных переменных сводятся к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка, которые легко интегрируются. Отделяя действительную и мнимую части полученных решений и возвращаясь к исходным переменным, получаем следующее общее

решение системы (55.25):

Здесь — произвольные постоянные.

Решение системы (55.23) получается из найденного решения (55.26) по формуле (55.24), после чего посредством формул (55.20) находится решение системы (55.18) с погрешностью порядка на интервале времени порядка , наконец, подстановка этого решения в формулы основной замены (55.14) дает общее решение исходного дифференциального уравнения (55.2) с теми же оценками точности.

Проделаем все эти выкладки для частного решения этого уравнения, соответствующего стоячей волне в невращающемся кольце. Полагая в формулах (55.26) и используя формулы (55.24), находим

(кликните для просмотра скана)

Функции (55.28) являются решением осредненной системы уравнений (55.18) во втором приближении. Подставляя их в формулы (55.14), получаем, что

В силу обозначений поэтому рассматриваемое частное решение записывается в следующем виде: