Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 30. Примеры типичных постановок задач, решаемых методом осредненияСвободные незатухающие колебания
Перепишем задачу в нормальной форме Коши
и перейдем к стандартной форме метода осреднения при помощи вамены
Стандартная форма имеет вид
После осреднения по
Таким образом, частота колебаний зависит от амплитуды колебаний в первом приближении в виде степенной функции с показателем, на единицу меньшим показателя степени имеющейся нелинейности. Коэффициент Свободные затухающие колебания
После перехода к нормальной форме Коши и использования замены (30.3) получим стандартную форму
После осреднения имеем
Решение:
Таким образом, чем больше показатель степени нелинейного члена, тем более «вялым» является затухание колебаний. Автоколебания. Изучим условия возникновения автоколебаний в системе, изображенной на рис. 27. Взаимодействие между элементом массы и бесконечной, движущейся с постоянной скоростью лентой осуществляется при помощи сухого трения в соответствии с законом, изображенным на рис. 28. Выбирая нужным образом масштабы измерения переменных, уравнение движения элемента массы запишется в виде
Скорость ленты
в котором учтена величина разрыва и первая производная характе ристики в точке разрыва справа и слева. После приведения уравнения (30.4) к нормальной форме Коши с последующей заменой переменных по формулам (30.2) и осреднением получается уравнение для медленной переменной х в виде
где функция
Вычислим производную этой функции:
(использовано правило замены переменной в Рассматривая полученное соотношение как дифференциальное уравнение, найдем из него функцию
Вид этой функции изображен на рис. 29. Таким образом, осредненная система имеет вид
Рис. 27
Рис. 28
Рис. 29
Рис. 30
Рис. 31 Это уравнение интегрируется в квадратурах, однако нас интересуют сейчас лишь положения равновесия уравнения (30.5), определяющие в исходной системе режимы автоколебаний. Приравнивая правую часть нулю, найдем
Нижнему знаку соответствует режим, изображенный на рис. 29 буквой а, верхнему — буквой Ь. Исследование устойчивости показывает, что устойчив режим с меньшей амплитудой и неустойчив режим с большей амплитудой. Из (30.6) видно, что автоколебания возможны, если
На рис. 30—32 изображены результаты интегрирования на вычислительной машине исходного точного уравнения (30.4). На рис. 30 показан выход на устойчивый предельный цикл с начальными условиями во внутренней области, а на рис. 31 — во внешней. Представляет интерес поведение системы, когда условие существования автоколебаний (30.7) не выполняется.
Рис. 32 Фазовая траектория для этого случая изображена на рис. 32. Начальные условия выбраны в окрестности нуля. Точка довольно быстро стремится к той замкнутой кривой, которая соответствует предельному циклу на границе области существования, т. е. для Вынужденные колебания Рассмотрим систему, изображенную на рис. 33. Бесконечная лента движется с постоянной скоростью перпендикулярно направлению колебаний линейного одномерного осциллятора. Взаимодействие между лентой и элементом массы осуществляется по закону сухого трения: ленты; Выбирая нужным образом масштабы измерения переменных, уравнение движения осциллятора может быть записано в виде
Скорость ленты принята равной единице. Полагая коэффициент трения
Целью дальнейшего является построение амплитудно-частотной характеристики стационарных колебаний в окрестности резонанса (см. разд. 22). Полагая, поэтому разность
Осредненные по быстрой переменной
где функция
и выражается через полный эллиптический интеграл
Условия стационарности режима приводят к уравнениям
Рис. 33
Рис. 34
Рис. 35 Откуда, исключая 0, получим уравнение для амплитудно-частотной характеристики:
Поскольку Параметрические колебания Рассмотрим уравнение Хилла
Для этого уравнения ставится задача построить в первом приближении границу области устойчивости. Нормальная форма Коши:
Замена переменных, приводящая систему к стандартной форме
Рис. 36 Система имеет счетное число резонансов в первом приближении: Рассмотрим произвольный резонанс:
Осредненная по всем быстрым переменным система:
На границе области устойчивости уравнение Хилла имеет периодическое решение, что соответствует положению равновесия написанных уравнений:
Положение равновесия возможно, если Они будут зависеть от номера к именно так, как изображено (т. е. ширина зоны уменьшается с ростом к и зона поднимается над осью частот), если
|
1 |
Оглавление
|