30. Примеры типичных постановок задач, решаемых методом осреднения

Свободные незатухающие колебания

Перепишем задачу в нормальной форме Коши

и перейдем к стандартной форме метода осреднения при помощи вамены

Стандартная форма имеет вид

После осреднения по

Таким образом, частота колебаний зависит от амплитуды колебаний в первом приближении в виде степенной функции с показателем, на единицу меньшим показателя степени имеющейся нелинейности. Коэффициент монотонно убывает и при больших ведет себя как

Свободные затухающие колебания

После перехода к нормальной форме Коши и использования замены (30.3) получим стандартную форму

После осреднения имеем

Решение:

— произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, чем больше показатель степени нелинейного члена, тем более «вялым» является затухание колебаний.

Автоколебания. Изучим условия возникновения автоколебаний в системе, изображенной на рис. 27. Взаимодействие между элементом массы и бесконечной, движущейся с постоянной скоростью лентой осуществляется при помощи сухого трения в соответствии с законом, изображенным на рис. 28. Выбирая нужным образом масштабы измерения переменных, уравнение движения элемента массы запишется в виде

Скорость ленты равна 1. Относительная скорость массы и ленты есть Рассчитывая изучить колебания, периодически проходящие через точку разрыва, мы силу трения представили в виде

в котором учтена величина разрыва и первая производная характе ристики в точке разрыва справа и слева.

После приведения уравнения (30.4) к нормальной форме Коши с последующей заменой переменных по формулам (30.2) и осреднением получается уравнение для медленной переменной х в виде

где функция имеет вид

Вычислим производную этой функции:

(использовано правило замены переменной в -функции Дирака).

Рассматривая полученное соотношение как дифференциальное уравнение, найдем из него функцию

Вид этой функции изображен на рис. 29.

Таким образом, осредненная система имеет вид

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29

Рис. 30

Рис. 31

Это уравнение интегрируется в квадратурах, однако нас интересуют сейчас лишь положения равновесия уравнения (30.5), определяющие в исходной системе режимы автоколебаний. Приравнивая правую часть нулю, найдем

Нижнему знаку соответствует режим, изображенный на рис. 29 буквой а, верхнему — буквой Ь. Исследование устойчивости показывает, что устойчив режим с меньшей амплитудой и неустойчив режим с большей амплитудой.

Из (30.6) видно, что автоколебания возможны, если

На рис. 30—32 изображены результаты интегрирования на вычислительной машине исходного точного уравнения (30.4). На рис. 30 показан выход на устойчивый предельный цикл с начальными условиями во внутренней области, а на рис. 31 — во внешней.

Представляет интерес поведение системы, когда условие существования автоколебаний (30.7) не выполняется.

Рис. 32

Фазовая траектория для этого случая изображена на рис. 32. Начальные условия выбраны в окрестности нуля. Точка довольно быстро стремится к той замкнутой кривой, которая соответствует предельному циклу на границе области существования, т. е. для когда по осредненным уравнениям это соответствует амплитуде Затем она достаточно долго пребывает в окрестности этого предельного цикла, после чего с увеличивающейся скоростью удаляется от него, уходя в бесконечность. Если время работы системы невелико, то, даже когда теоретически автоколебания отсутствуют, движения указанного типа можно трактовать как практически автоколебательные. Во всех рассмотренных случаях сравнение точных и приближенных результатов показывает весьма высокую точность последних. Применение метода осреднения в этой задаче, несмотря на наличие разрывов в правых частях уравнения, удовлетворяет обычным оценкам точности.

Вынужденные колебания

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 33.

Бесконечная лента движется с постоянной скоростью перпендикулярно направлению колебаний линейного одномерного осциллятора. Взаимодействие между лентой и элементом массы осуществляется по закону сухого трения: где — модуль относительной скорости элемента массы и

ленты; единичный вектор направления относительной скорости. В направлении оси к массе приложена гармоническая во времени возмущающая сила.

Выбирая нужным образом масштабы измерения переменных, уравнение движения осциллятора может быть записано в виде

Скорость ленты принята равной единице. Полагая коэффициент трения и амплитуду силы малыми, как и в предыдущих задачах, заменой (30.2) приводим уравнение к стандартной форме:

Целью дальнейшего является построение амплитудно-частотной характеристики стационарных колебаний в окрестности резонанса (см. разд. 22). Полагая, поэтому разность малой и вводя медленную фазу приведем систему к одночастотной форме:

Осредненные по быстрой переменной уравнения таковы:

где функция имеет вид

и выражается через полный эллиптический интеграл (рис. 34):

Условия стационарности режима приводят к уравнениям

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 35

Откуда, исключая 0, получим уравнение для амплитудно-частотной характеристики:

Поскольку монотонно возрастающая функция и то существует критическое значание амплитуды возбуждения такое, что если амплитудно-частотная характеристика замкнутая, система ведет себя как система с линейным вязким трением, если ветви амплитудно-частотной характеристики уходят в бесконечность, система ведет себя как система с сухим трением (рис. 35).

Параметрические колебания Рассмотрим уравнение Хилла

Для этого уравнения ставится задача построить в первом приближении границу области устойчивости.

Нормальная форма Коши:

Замена переменных, приводящая систему к стандартной форме позволяет получить:

Рис. 36

Система имеет счетное число резонансов в первом приближении:

Рассмотрим произвольный резонанс: — малая расстройка. Вводим медленную фазу Уравнения запишутся

Осредненная по всем быстрым переменным система:

На границе области устойчивости уравнение Хилла имеет периодическое решение, что соответствует положению равновесия написанных уравнений:

Положение равновесия возможно, если (без снижения точности здесь принято Это и есть выражение для границы зоны неустойчивости уравнения Хилла (рис. 36). Зоны неустойчивости на рисунке заштрихованы.

Они будут зависеть от номера к именно так, как изображено (т. е. ширина зоны уменьшается с ростом к и зона поднимается над осью частот), если убывает при к Это значит, что такое поведение характерно в том случае, когда ряд сходится к кусочно-дифференцируемой функции или к более гладкой. Для кусочно-непрерывной функции ширина зоны неустойчивости от номера не зависит.