Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 50. Метод касательных (оскулирующих) приближенийИзлагаемый ниже метод удобно применять для построения периодических решений нелинейных систем, хотя возможно применение и для других целей. Рассмотрим скалярное уравнение
Функция Метод касательных приближений сочетает идеи метода Ритца и метода Тейлора. Периодическое решение уравнения (50.1) ищется в виде суммы
где с произвольным, заданным порядком касания. Именно такой характер приближения имеет тейлоровский полином для приближаемой функции. Поскольку базисные функции
(функции предполагаются аналитическими в окрестности нуля). Таким образом, предполагается известной система коэффициентов
Подставляя (50.3) в (50.2), находим
С другой стороны, введя обозначения для производных
перепишем (50.1) в виде (ограничимся для наглядности системой второго порядка):
Инфинитезимальный оператор группы, порождаемой этой системой:
Эта группа переводит начальные значения
Выражение
Приравнивая первые
Получена линейная система уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов Заметим, что кроме коэффициентов
Это переопределенная относительно
Это прямоугольная матрица размером Для составления условий о соответствии рангов воспользуемся теоремой о ранге матрицы: если матрица имеет минор порядка
Следовательно, для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы два содержащих его минора были равны нулю:
Уравнения (50.8) служат для определения двух неизвестных начальных условий Если исходное уравнение имеет порядок Случай автономной системы:
Вся изложенная выше процедура применима полностью и в этом случае. Отличия такие. Коэффициенты базисных функций будут зависеть от величины неизвестного заранее периода Т: Замечание. При решении конкретных задач может оказаться так, что удобная система базисных функций такова, что не выполняется условие, чтобы все главные миноры матрицы системы (50.6) были отличны от нуля. В таких случаях число приравниваемых производных в нуле (порядок касания) будет выше, чем число определяемых коэффициентов плюс порядок системы. Пример. Уравнение Дуффинга:
Поскольку колебания, описываемые этим уравнением, симметричны, то в качестве базисных функций
Коэффициенты (я в этом случае равны:
Ограничиваясь определением двух первых коэффициентов, уравнения (50.7) берем в виде
В силу указанной симметрии решения
В рассматриваемом случае оператор А имеет вид
Подсчитываем правые части системы:
В силу симметрии решения
Если считать в малым параметром и представить Для нахождения
Вопросы обоснования метода. Если точное решение представимо конечным числом базисных функций Была рассмотрена задача построения периодического решения скалярного уравнения
|
1 |
Оглавление
|