50. Метод касательных (оскулирующих) приближений

Излагаемый ниже метод удобно применять для построения периодических решений нелинейных систем, хотя возможно применение и для других целей.

Рассмотрим скалярное уравнение порядка следующего вида:

Функция — аналитическая в некоторой области функция своих аргументов и периодическая функция времени. Случай автономных систем будет рассмотрен отдельно.

Метод касательных приближений сочетает идеи метода Ритца и метода Тейлора.

Периодическое решение уравнения (50.1) ищется в виде суммы

где — базисные, или координатные, функции, выбираемые в соответствии с решаемой задачей. Для построения периодических решений эти функции удобно брать также периодическими, хотя это не обязательно. Требуется построить такой конечный отрезок ряда (50.2), чтобы полученная функция имела заданное число производных при совпадающих с теми же производными у точного периодического решения. То есть строится приближенная периодическая функция, имеющая тот же период, что и точное решение, и касающаяся при точного решения

с произвольным, заданным порядком касания. Именно такой характер приближения имеет тейлоровский полином для приближаемой функции.

Поскольку базисные функции считаются известными, будем считать известными их тейлоровские разложения

(функции предполагаются аналитическими в окрестности нуля). Таким образом, предполагается известной система коэффициентов

Подставляя (50.3) в (50.2), находим

С другой стороны, введя обозначения для производных

перепишем (50.1) в виде (ограничимся для наглядности системой второго порядка):

Инфинитезимальный оператор группы, порождаемой этой системой:

Эта группа переводит начальные значения в текущие Воспользуемся ее представлением в виде ряда Ли (см. разд. 35):

Выражение и представляет собой значение производной в нуле точного решения. Выражение для той же производной в нуле у функции (50.4) есть

Приравнивая первые производных в нуле точного решения и его представления, найдем

Получена линейная система уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов Возникает вопрос, сколько этих коэффициентов можно определить из системы (50.6).

Заметим, что кроме коэффициентов неизвестными являются начальные условия, определяющие периодическое решение. Для системы второго порядка их два: Если в системе (50.6) оставить искомые коэффициенты в количестве то получим систему

Это переопределенная относительно система. По известной теореме алгебры для совместности уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы. При этом если этот ранг равен числу неизвестных, то решение единственно. Ранг матрицы системы без ограничения общности можно считать равным (поскольку коэффициенты мы выбираем с достаточным произволом). Расширенная матрица системы имеет вид

Это прямоугольная матрица размером

Для составления условий о соответствии рангов воспользуемся теоремой о ранге матрицы: если матрица имеет минор порядка отличный от нуля, для которого все содержащие его миноры равны 0, то ранг матрицы равен Отличный от 0 минор

Следовательно, для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы два содержащих его минора были равны нулю:

Уравнения (50.8) служат для определения двух неизвестных начальных условий После подстановки найденных отсюда значений в первые уравнений системы (50.7) получаем разрешимую неоднородную систему, определяющую единственное решение для

Если исходное уравнение имеет порядок то из условия касания порядка можно найти неизвестных коэффициентов Неизвестные начальные условия находятся из условия равенства нулю окаймляющих миноров.

Случай автономной системы:

Вся изложенная выше процедура применима полностью и в этом случае. Отличия такие. Коэффициенты базисных функций будут зависеть от величины неизвестного заранее периода Т: . В силу автономности одно из начальных условий (например, принимается произвольным. Из уравнений (50.8) находятся период Т и второе начальное условие в зависимости от Все остальное так же, как и в неавтономном случае.

Замечание. При решении конкретных задач может оказаться так, что удобная система базисных функций такова, что не выполняется условие, чтобы все главные миноры матрицы системы (50.6) были отличны от нуля. В таких случаях число приравниваемых производных в нуле (порядок касания) будет выше, чем число определяемых коэффициентов плюс порядок системы.

Пример. Уравнение Дуффинга:

Поскольку колебания, описываемые этим уравнением, симметричны, то в качестве базисных функций можно взять

Коэффициенты (я в этом случае равны:

Ограничиваясь определением двух первых коэффициентов, уравнения (50.7) берем в виде

В силу указанной симметрии решения Поэтому второе и четвертое уравнения этой системы удовлетворяются тождественно. Основная система, разрешающая поставленную задачу, такова:

В рассматриваемом случае оператор А имеет вид

Подсчитываем правые части системы:

В силу симметрии решения поэтому уравнение для нахождения частоты приобретает вид

Если считать в малым параметром и представить то из этого уравнения находим

Для нахождения теперь достаточно решить систему

Вопросы обоснования метода. Если точное решение представимо конечным числом базисных функций то процедура с порядком касания, равным где — порядок уравнения, позволяет построить периодическое решение точно. Отсюда следует, что в случае квазилинейных систем рассмотренный метод позволяет строить точные разложения периодических решений по степеням . Это следует из того, что для квазилинейных систем чем выше номер гармоники (в случае в качестве базисных функций), тем выше и порядок малости по ее амплитуды. Для систем без малого параметра задача обоснования существенно сложнее.

Была рассмотрена задача построения периодического решения скалярного уравнения порядка. Распространение алгоритма на системы дифференциальных уравнений не вызывает принципиальных затруднений.