24. Существенно нелинейные системы

Рассмотрим теперь вопрос об осреднении в резонансном случае системы (22.2) тогда, когда вектор частот зависит от медленных переменных . В этом случае устранить резонанс при помощи замены вида (23.2), вводящей дополнительные медленные переменные, сразу для любых начальных условий, так как это удалось в квазилинейном случае, нельзя. Некоторые решения (кривая I на рис. 12) будут проходить резонансную поверхность, не задерживаясь вблизи нее, и для их нахождения можно пользоваться осредненными уравнениями, не обращая внимания на резонанс. Для других же (кривая II на рис. 12) возможно длительное «застревание» вблизи резонансной поверхности. Для построения таких решений пользоваться осредненными уравнениями (22.7) уже нельзя. Известны результаты (см., например, [4]), в которых установлено, при каких ограничениях на правые части системы (22.2) решений, «застревающих» на резонансах, будет в некотором смысле мало. Ясно, однако, что подобные теоремы не могут служить обоснованием решения начальной задачи Коши для уравнений (22.2) методом осреднения, поскольку сказать заранее, с каким решением мы имеем дело, невозможно. Эти теоремы

представляют собой анализ некоторых общих свойств фазового потока рассматриваемой системы.

Другой подход к решению этой задачи состоит в том, чтобы разыскивать именно такие решения, которые «застревают» на резонансе. Чаще всего они и представляют наибольший интерес с точки зрения физики.

Делается это так. Пусть при помощи предварительного построения временного среднего (22.9) в системе (22.2) установлено наличие резонансной поверхности

я пусть нас интересует класс решений лежащий в малой окрестности этой поверхности.

Вначале, так же как и в квазилинейном случае, введем в соответствии с формулой (23.2) новую фазу:

Уравнения (23.3) примут вид

Если х лежит в окрестности резонансной поверхности, то сумма тсот мала. Однако переменная 0 в системе (24.1) считаться медленной на этом основании не может. В отличие от квазилинейного случая указанная сумма не есть постоянное число, которым можно распоряжаться; это есть функция, и малый параметр должен стоять перед ней множителем, чтобы 0 можно было считать медленной переменной. Введение такого множителя можно осуществить при помощи изменения масштабов, как это ютмечалось в разд. 21. Для этого сначала преобразуем медленные временные: т. е. в качестве одной из новых переменных выбрано уравнение резонансной поверхности. Уравнения (24.1) примут вид

где .

Теперь введем изменение масштаба переменной Окончательно получим

В системе (24.2) рассматриваемый резонанс устранен, и к ней можно применять процедуру осреднения (22.7)-(22.8).

В первом приближении метода из (24.2) получим

где — среднее по Эта система интегрируется в квадратурах. Таким образом, в первом приближении удается получить лишь информацию об изменении медленной фазы с погрешностью порядка на интервалах времени порядка . Для получения содержательной информации об изменении, других переменных необходимо строить второе приближение. Построение второго приближения для системы (24.2) не представляет никаких затруднений. Действительно, в соответствии с изложенным в разд. 20 для этого необходимо выполнить близкую к тождественной замену переменных, с тем чтобы обратить в нуль дополнение к среднему по первого порядка малости. Однако такое дополнение есть только в последнем уравнении, поэтому замена, приводящая к уравнениям второго приближения, есть

Подстановка в последнее уравнение системы (24.2) дает

— дополнение к среднему.

Условие для нахождения есть

Поскольку оказывается не зависящей от то и уравнение для примет вид

Поскольку осредненная система второго приближения просто совпадает с прямым осреднением уравнений (24.2) и имеет вид

Однако при этом следует иметь в виду, что переменная связана с заменой (24.3).

Построение третьего приближения требует уже значительных выкладок.

В теории колебаний наибольший интерес представляет изучение стационарных режимов и их устойчивости. В этом случае описанную последовательность преобразований можно упростить. Пусть рассматриваемый режим мало отличается от некоторой неподвижной точки лежащей на резонансной поверхности Введем переменную характеризующую малые отклонения от этого режима:

Уравнения (24.1) преобразуются к виду

Точками обозначены члены более высокого порядка малости чем , а обозначение представляет собой квадратичную форму относительно вектора с матрицей

В этой системе устранен рассматриваемый резонанс и, кроме того, она уже квазилинейная. Для нее применимы все изложенные выше процедуры для квазилинейных систем. В первом приближении получаем

Эти уравнения интегрируются в квадратурах Вначале решается скалярное уравнение для 0:

После чего интегрируются уравнения для

Условия для стационарного режима

представляют собой систему из уравнений для нахождения переменной, . Складывая первое уравнение с последним, найдем, что с точностью до членов порядка

То есть стационарная точка в первом приближении принадлежит резонансной поверхности. Поэтому в рамках принятой точности достаточно положить Рассматривая оставшиеся уравнений относительно неизвестной , находим положение стационарной точки на резонансной поверхности и стационарное значение фазы.

Построение второго приближения, как и в предыдущем случае, достигается прямым усреднением системы (24.4) с удержанием всех членов порядка

Пример. Изучить стационарные режимы в уравнении

— малый параметр.

Перепишем уравнение в нормальной форме Коши:

При система имеет решение:

с произвольными постоянными А и В.

Следовательно, ко второй стандартной форме возмущенную систему приведет следующее преобразование

В новых переменных система принимает вид

Вычисляя временное среднее правых частей вдоль решений вырожденной системы, найдем выражение для резонансной поверхности (в одномерном пространстве х резонансная поверхность есть точка), которое диктует преобразование к медленной фазе но, для того чтобы она действительно была медленной, необходимо рассмотреть окрестность резонансной точки . В итоге уравнения осциллятора примут вид

В уравнении для быстрой фазы опущены члены порядка в уравнениях для медленных переменных — порядка

Первое приближение метода осреднения:

Уравнение для фазы

представляет собой уравнение математического маятника с приложенным постоянным моментом.

Уравнения стационарного режима дают

Фазовый портрет системы первого приближения изображен на рис. 13. Система имеет два стационарных режима Область существования стационарных режимов: . В первом приближении оба стационарных режима имеют одинаковую амплитуду (кривая I на рис. 14). Для уточнения величины амплитуды стационарных режимов, а также устойчивости следует построить второе приближение. Как это вытекает из приведенных выше общих результатов, для построения второго приближения достаточно вычислить среднее по

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

правых частей системы (22.5) с учетом всех членов порядка :

Откуда для стационарных режимов найдем

Переменная связана с переменной заменой (24.3), поэтому исходная переменная в решаемой задаче изменяется следующим образом:

То есть для амплитуды первой гармоники имеем выражение

Эта функция изображена на рис. 14 кривой II.

Исследование устойчивости показывает асимптотическую устойчивость режима с большей амплитудой и неустойчивость режима с меньшей.

В заключение этого параграфа рассмотрим одномерную существенно нелинейную колебательную систему

При написанное дифференциальное уравнение интегрируется в квадратурах, однако выписать решение в явном виде часто бывает трудно, поэтому непрост и переход к медленным переменным. Ниже приводится прием, позволяющий достаточно просто построить первое приближение метода осреднения независимо от вида функции

Перепишем уравнение (24.6) в виде системы уравнений первого порядка:

Ее общее решение при может быть представлено в виде

где постоянная интеграла энергии

Для перехода к уравнениям вида (22.2) в системе (24.7) необходимо выполнить замену

Уравнение для можно получить непосредственно из (24.8), рассматривая (24.6) как результат обращения замены (24.9):

Тогда в новых переменных

По быстрой переменной можно осреднить систему:

где — период функций (24.9). Интегрирование ведется по замкнутому контуру, определяемому в плоскости интегралом (24.8) (рис. 15).

Воспользовавшись теоремой Грина (в предположении, что соответствующие условия на функцию выполнены), получим

где — площадь, охватываемая контуром.

Правая часть уравнения (24.10) зависит только от медленной переменной х и не требует знания функций (24.9).

Пример. Найти закон убывания энергии осциллятора:

— положительное целое число, — малый параметр.

В соотношении (24.10) для рассматриваемого случая

Поэтому

Необходимо вычислить площадь, охватываемую фазовой кривой, и период Г, исходя из интеграла Обозначив

найдем

откуда

Закон убывания энергии: