Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 24. Существенно нелинейные системыРассмотрим теперь вопрос об осреднении в резонансном случае системы (22.2) тогда, когда вектор частот представляют собой анализ некоторых общих свойств фазового потока рассматриваемой системы. Другой подход к решению этой задачи состоит в том, чтобы разыскивать именно такие решения, которые «застревают» на резонансе. Чаще всего они и представляют наибольший интерес с точки зрения физики. Делается это так. Пусть при помощи предварительного построения временного среднего (22.9) в системе (22.2) установлено наличие резонансной поверхности
я пусть нас интересует класс решений Вначале, так же как и в квазилинейном случае, введем в соответствии с формулой (23.2) новую фазу:
Уравнения (23.3) примут вид
Если х лежит в окрестности резонансной поверхности, то сумма
где Теперь введем изменение масштаба переменной
В системе (24.2) рассматриваемый резонанс устранен, и к ней можно применять процедуру осреднения (22.7)-(22.8). В первом приближении метода из (24.2) получим
где
Подстановка в последнее уравнение системы (24.2) дает
Условие для нахождения
Поскольку
Поскольку
Однако при этом следует иметь в виду, что переменная Построение третьего приближения требует уже значительных выкладок. В теории колебаний наибольший интерес представляет изучение стационарных режимов и их устойчивости. В этом случае описанную последовательность преобразований можно упростить. Пусть рассматриваемый режим
Уравнения (24.1) преобразуются к виду
Точками обозначены члены более высокого порядка малости чем В этой системе устранен рассматриваемый резонанс и, кроме того, она уже квазилинейная. Для нее применимы все изложенные выше процедуры для квазилинейных систем. В первом приближении получаем
Эти уравнения интегрируются в квадратурах Вначале решается скалярное уравнение для 0:
После чего интегрируются уравнения для Условия для стационарного режима
представляют собой систему из
То есть стационарная точка в первом приближении принадлежит резонансной поверхности. Поэтому в рамках принятой точности достаточно положить Построение второго приближения, как и в предыдущем случае, достигается прямым усреднением системы (24.4) с удержанием всех членов порядка Пример. Изучить стационарные режимы в уравнении
Перепишем уравнение в нормальной форме Коши:
При
с произвольными постоянными А и В. Следовательно, ко второй стандартной форме возмущенную систему приведет следующее преобразование
В новых переменных система принимает вид
Вычисляя временное среднее правых частей вдоль решений вырожденной
В уравнении для быстрой фазы опущены члены порядка Первое приближение метода осреднения:
Уравнение для фазы
представляет собой уравнение математического маятника с приложенным постоянным моментом. Уравнения стационарного режима дают
Фазовый портрет системы первого приближения изображен на рис. 13. Система имеет два стационарных режима
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15 правых частей системы (22.5) с учетом всех членов порядка
Откуда для стационарных режимов найдем
Переменная
То есть для амплитуды первой гармоники имеем выражение
Эта функция изображена на рис. 14 кривой II. Исследование устойчивости показывает асимптотическую устойчивость режима с большей амплитудой и неустойчивость режима с меньшей. В заключение этого параграфа рассмотрим одномерную существенно нелинейную колебательную систему
При
Перепишем уравнение (24.6) в виде системы уравнений первого порядка:
Ее общее решение при
где
Для перехода к уравнениям вида (22.2) в системе (24.7) необходимо выполнить замену
Уравнение для
Тогда в новых переменных
По быстрой переменной
где Воспользовавшись теоремой Грина (в предположении, что соответствующие условия на функцию
где Правая часть уравнения (24.10) зависит только от медленной переменной х и не требует знания функций (24.9). Пример. Найти закон убывания энергии осциллятора:
В соотношении (24.10) для рассматриваемого случая Поэтому
Необходимо вычислить площадь, охватываемую фазовой кривой,
найдем
откуда
Закон убывания энергии:
|
1 |
Оглавление
|