Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 38. Формула Хаусдорфа. Группы симметрийВ разд. 35 было выяснено, как преобразуется функция, заданная в плоскости (или в некоторой ее области) однопараметрической группой преобразований. Результат был представлен в двух формах: уравнение Лиувилля (35.2) или (35.5) и ряд Ли (35.3). В обеих формах приведенные соотношения связывали выражение рассматриваемой функции в старых координатах, ее выражение в новых координатах и оператор группы преобразований старых координат в новые. В настоящем разделе рассматривается аналогичная задача, однако объектом преобразования является уже не функция, а система дифференциальных уравнений
Пусть задана группа преобразований
Требуется выяснить, как изменятся уравнения (38.1) при этих преобразованиях. В терминах операторов групп задача формулируется так. Уравнения (38.1) порождают однопараметрическую группу с оператором
Группа преобразований (38.2) определяется оператором
В новых переменных уравнения (38.1) принимают вид
и им соответствует оператор
Необходимо установить связь между операторами Решение этой задачи и дается формулой Хаусдорфа, к выводу которой мы приступаем. Запишем преобразование группы
Напомним, что в этих выражениях в случае прямого преобразования
Используя формулы (37.2), (37.3), перейдем в операторе (38.6) обратно от новых переменных
Компоненты оператора
Эти выражения не зависят от
откуда
Первый и второй члены этого соотношения получены дифференцированием по явно входящему т. Третий член представляет собой дифференцирование по В результате получаем
К этому уравнению следует добавить начальное условие
чтобы получить искомую связь между Уравнение (38.8), определяющее преобразованный оператор А, является аналогом уравнения Лиувилля, определяющего преобразованную функцию. Соотношение (38.8) раскрывает смысл второго названия для коммутатора — производный оператор: коммутатор есть в буквальном смысле слова производная оператора А по параметру группы, определяемой оператором
Из (38.8)
Для нахождения второй производной дифференцируем (38.8):
Покажем, что это действительно так. В качестве оператора В можно взять В результате приходим к формуле Хаусдорфа
Из этой формулы следует, что если
то Группа (38.2) называется в этом случае группой симметрий уравнений (38.1). Или говорят, что уравнения (38.1) допускают группу (38.2). Для того чтобы такой факт имел место, условие (38.11) является, как это следует из (38.10), необходимым и достаточным. Так как уравнения (38.1) преобразованиями группы симметрий не изменяются, то это означает, что любые решения этих уравнений группой симметрий переводятся в решения этих же уравнений. Этот факт может служить определением группы симметрий. Если же обратиться к эквивалентному системе (38.1) уравнению др Теорема. Пусть задана система
Если известна группа симметрий этой системы, оператор которой
т. e. Дока зательство. Укажем алгоритм понижения порядка. Группа, порождаемая оператором (38.13), предполагается известной, это означает, в частности, что известна полная система инвариантов этой группы, так что известны ее канонические координаты
в которых оператор (38.13) имеет простейший вид:
но тогда условие
Последний коммутатор сводится в силу (33.5) к дифференцированию компонент оператора 1 по Равенство нулю означает при этом, что в новых переменных оператор А (а следовательно, и преобразованная система (38.12)) не зависит от переменной Пример. Понизить порядок уравнения:
Вначале приведем это уравнение к виду (38.12):
Группа симметрий этого уравнения очевидна. Она связана с изменением масштаба измерения переменной у. Это группа растяжений
Следовательно, операторы
Легко убедиться, что в этом случае
откуда
Или, выражая
Иными словами, в новых переменных исходная дифференциальная система имеет вид
т. е. задача сводится к интегрированию уравнения Риккати. Заметим, что приведенный способ понижения порядка требует знания канонических координат группы симметрий. Однако есть случаи, когда для этого достаточно лишь знания оператора группы. Например, это возможно, когда размерность системы равна двум. Рассмотрим этот случай. Пусть имеем систему
с оператором
И пусть известен оператор ее группы симметрий
про который будем дополнительно предполагать, что он является линейно несвязанным (условие линейной несвязанности является более жестким, чем условие линейной независимости, и определяется так: операторы
В отличие от определения линейной независимости здесь коэффициенты X могут зависеть от переменных
— первый интеграл рассматриваемой системы. Это значит, что имеет место)
Поскольку группа симметрий сохраняет систему, то она должна переводить интегральные кривые в интегральные кривые, т. е. семейство (38.15) должно быть инвариантным семейством группы. В соответствии с (35.11) это дает
Разрешая эту линейную систему, найдем
Откуда первый интеграл исходной системы находится квадратурой
Аналогичный результат имеет место и в случае произвольной размерности. В [56] он сформулирован так: Теорема. Если система (38.12) допускает Термин «разрешимая группа» как раз и происходит от возможности использования таких групп для интегрирования в квадратурах систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Не приводя точного определения понятия «разрешимая группа», приведем критерий, позволяющий устанавливать наличие этого свойства:
( Напомним, как вычисляются криволинейные интегралы, к которым сводятся получаемые указанным способом квадратуры. Рассматривая изменение переменных интегрирования вдоль прямой:
напишем
Интегрирование вдоль прямой выбирается исключительно ради простоты. Поскольку подынтегральная функция в криволинейном интеграле есть полный дифференциал, то сам интеграл от пути интегрирования не зависит, а зависит только от начальной и конечной точки. Пример. Найти потенциал для векторного поля Пользуясь указанным приемом, находим
Расширение понятия группы симметрий. Вернемся к системе
Пусть известна группа преобразований (38.2) с оператором (38.4), таким, что имеет место
Используя формулу Хаусдорфа (38.10), выясним, как в этом случае изменяются уравнения (38.16). Последовательно находим
и так далее. Следовательно, формула Хаусдорфа дает
Таким образом, уравнения (38.16) преобразуются к виду
Хотя уравнения и изменились, но фазовые траектории остались теми же:
Группа, удовлетворяющая условию (38.17), также называется группой симметрий. Такая группа переводит интегральные кривые системы (38.16) в ее же интегральные кривые. Теорема. Если система (38.16) допускает группу симметрий в расширенном смысле, то эта система может быть понижена в порядке. Доказательство проводится, как и ранее, посредством перехода к каноническим координатам группы, в которых система (38.16) после приведения ее к форме (38.18) оказывается не зависящей от одной переменной. Замечание. Этот результат не зависит от размерности пространства и, как и ранее, в случае плоскости для интегрирования в квадратурах достаточно знания лишь оператора группы. Пример. Уравнение Блазиуса:
Требуется понизить порядок. Приводам предварительно это уравнение к нормальной форме Коши автономной системы:
Оператор этой системы таков:
Ищем группу симметрий при помощи изменения масштаба
Откуда видно, что правая часть приобретает общий скалярный множитель, если Следовательно, однопараметрическая группа стшетрий (в расширенном смысле) имеет вид
или
Оператор этой группы
Коммутатор операторов
Для понижения порядка системы достаточно перейти от переменных, в которых она записана, к переменным, являющимся каноническими координатами ее группы симметрий
Эта система представляет собой полную запись условий, которым должны удовлетворять канонические координаты, однако при практических вычислениях выписывать два нижних уравнения не требуется, поскольку все необходимые интегралы получаются уже из первого уравнения:
Обратная замена:
Осталось найти вид оператора Л в новых переменных:
Следовательно, исходные уравнения в новых переменных получают вид
В этом примере видно, в чем состоит отличие случая, когда
Уравнение (38.17) позволяет поставить следующую задачу. Система (38.16) задана, требуется найти ее группу симметрий. В этом случае (38.17) представляет собой систему уравнений для нахождения коэффициентов
Эта линейная система относительно неизвестных функций
Легко показать, что такие системы эквивалентны одному уравнению такого же вида, как и рассмотренные в разд. 36. Если Отметим важное свойство определяющей системы. Множество операторов, удовлетворяющих этой системе, образует алгебру. Это означает, что если некоторый оператор В самом деле:
т. е.
Однако в силу тождества Якоби имеем
Поэтому
Но это и означает, что Примеры решения определяющих уравнений с целью нахождения алгебры симметрий будут рассмотрены в разд. 42 и 43.
|
1 |
Оглавление
|