38. Формула Хаусдорфа. Группы симметрий

В разд. 35 было выяснено, как преобразуется функция, заданная в плоскости (или в некоторой ее области) однопараметрической группой преобразований. Результат был представлен в двух формах: уравнение Лиувилля (35.2) или (35.5) и ряд Ли (35.3). В обеих формах приведенные соотношения связывали выражение рассматриваемой функции в старых координатах, ее выражение в новых координатах и оператор группы преобразований старых координат в новые.

В настоящем разделе рассматривается аналогичная задача, однако объектом преобразования является уже не функция, а система дифференциальных уравнений

Пусть задана группа преобразований

Требуется выяснить, как изменятся уравнения (38.1) при этих преобразованиях. В терминах операторов групп задача формулируется так. Уравнения (38.1) порождают однопараметрическую группу с оператором

Группа преобразований (38.2) определяется оператором

В новых переменных уравнения (38.1) принимают вид

и им соответствует оператор

Необходимо установить связь между операторами

Решение этой задачи и дается формулой Хаусдорфа, к выводу которой мы приступаем. Запишем преобразование группы а также и им обратные в виде рядов Ли (35.6):

Напомним, что в этих выражениях в случае прямого преобразования имеет вид (38.4), а в случае обратного в этом операторе вместо старых переменных следует писать новые:

Используя формулы (37.2), (37.3), перейдем в операторе (38.6) обратно от новых переменных , и к старым переменным в результате чего получим

Компоненты оператора являются функциями и и Заменяя в них по формулам (38.7), приходим к компонентам исходного оператора

Эти выражения не зависят от поэтому

откуда

Первый и второй члены этого соотношения получены дифференцированием по явно входящему т. Третий член представляет собой дифференцирование по функции, зависящей от и и у, которые в свою очередь зависят от по формуле (38.7). Такая производная определяется формулой Лиувилля (35.2).

В результате получаем

К этому уравнению следует добавить начальное условие

чтобы получить искомую связь между

Уравнение (38.8), определяющее преобразованный оператор

А, является аналогом уравнения Лиувилля, определяющего преобразованную функцию. Соотношение (38.8) раскрывает смысл второго названия для коммутатора — производный оператор: коммутатор есть в буквальном смысле слова производная оператора А по параметру группы, определяемой оператором Приведенная начальная задача Коши для операторного уравнения (38.8) решается при помощи разложения в ряд Тейлора по

Из (38.8)

Для нахождения второй производной дифференцируем (38.8): Если бы оператор получался из какого-то оператора В в результате преобразования группы с оператором (7, то мы имели бы право, как и в (38.8), написать

Покажем, что это действительно так. В качестве оператора В можно взять . В силу инвариантности коммутатора по отношению к заменам переменных (см. разд. 33) имеем Однако очевидно что и доказывает справедливость (38.9). Остальные производные определяются аналогично.

В результате приходим к формуле Хаусдорфа

Из этой формулы следует, что если

то т. е. преобразования (38.2) не изменяют оператора (или уравнений (38.1).

Группа (38.2) называется в этом случае группой симметрий уравнений (38.1). Или говорят, что уравнения (38.1) допускают группу (38.2).

Для того чтобы такой факт имел место, условие (38.11) является, как это следует из (38.10), необходимым и достаточным.

Так как уравнения (38.1) преобразованиями группы симметрий не изменяются, то это означает, что любые решения этих уравнений группой симметрий переводятся в решения этих же уравнений. Этот факт может служить определением группы симметрий. Если же обратиться к эквивалентному системе (38.1) уравнению др Лиувилля , то любое решение этого уравнения будет переводиться оператором группы симметрий в решение этого же уравнения Все введенные понятия и полученные формулы никак с размерностью пространства не связаны и справедливы для произвольной размерности. Полезность установления симметрий дифференциальной системы демонстрирует следующая теорема.

Теорема. Пусть задана система

Если известна группа симметрий этой системы, оператор которой

т. e. , где А — оператор системы (38.12), то система (38.12) может быть понижена в порядке.

Дока зательство. Укажем алгоритм понижения порядка. Группа, порождаемая оператором (38.13), предполагается известной, это означает, в частности, что известна полная система инвариантов этой группы, так что известны ее канонические координаты

в которых оператор (38.13) имеет простейший вид:

но тогда условие переходит в условие

Последний коммутатор сводится в силу (33.5) к дифференцированию компонент оператора 1 по Равенство нулю означает при этом, что в новых переменных оператор А (а следовательно, и преобразованная система (38.12)) не зависит от переменной . Теорема доказана.

Пример. Понизить порядок уравнения:

Вначале приведем это уравнение к виду (38.12):

Группа симметрий этого уравнения очевидна. Она связана с изменением масштаба измерения переменной у. Это группа растяжений

Следовательно, операторы имеют вид

Легко убедиться, что в этом случае Разыскиваем канонические координаты группы

откуда Находим выражение оператора 4 в новых переменных:

Или, выражая через

Иными словами, в новых переменных исходная дифференциальная система имеет вид

т. е. задача сводится к интегрированию уравнения Риккати.

Заметим, что приведенный способ понижения порядка требует знания канонических координат группы симметрий. Однако есть случаи, когда для этого достаточно лишь знания оператора группы. Например, это возможно, когда размерность системы равна двум.

Рассмотрим этот случай. Пусть имеем систему

с оператором

И пусть известен оператор ее группы симметрий

про который будем дополнительно предполагать, что он является линейно несвязанным (условие линейной несвязанности является более жестким, чем условие линейной независимости, и определяется так: операторы называются линейно несвязанными, если не существует таких не всех тождественно равных нулю, что

В отличие от определения линейной независимости здесь коэффициенты X могут зависеть от переменных с оператором А. Пусть далее

— первый интеграл рассматриваемой системы. Это значит, что имеет место)

Поскольку группа симметрий сохраняет систему, то она должна переводить интегральные кривые в интегральные кривые, т. е. семейство (38.15) должно быть инвариантным семейством группы. В соответствии с (35.11) это дает . Или

Разрешая эту линейную систему, найдем

Откуда первый интеграл исходной системы находится квадратурой

Аналогичный результат имеет место и в случае произвольной размерности. В [56] он сформулирован так:

Теорема. Если система (38.12) допускает -параметрическую разрешимую группу операторы которой вместе с оператором А составляют линейно несвязанную систему, то уравнения (38.12) интегрируются в квадратурах.

Термин «разрешимая группа» как раз и происходит от возможности использования таких групп для интегрирования в квадратурах систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Не приводя точного определения понятия «разрешимая группа», приведем критерий, позволяющий устанавливать наличие этого свойства: -параметрическая группа разрешима тогда и только тогда, когда ее структурные константы (33.6) связаны условием

( — суммирование (Картан)).

Напомним, как вычисляются криволинейные интегралы, к которым сводятся получаемые указанным способом квадратуры. Рассматривая изменение переменных интегрирования вдоль прямой:

напишем

Интегрирование вдоль прямой выбирается исключительно ради простоты. Поскольку подынтегральная функция в криволинейном интеграле есть полный дифференциал, то сам интеграл от пути интегрирования не зависит, а зависит только от начальной и конечной точки.

Пример. Найти потенциал для векторного поля Поскольку то такой потенциал существует и равен

Пользуясь указанным приемом, находим

Расширение понятия группы симметрий. Вернемся к системе

Пусть известна группа преобразований (38.2) с оператором (38.4), таким, что имеет место

Используя формулу Хаусдорфа (38.10), выясним, как в этом случае изменяются уравнения (38.16).

Последовательно находим

и так далее. Следовательно, формула Хаусдорфа дает

Таким образом, уравнения (38.16) преобразуются к виду

Хотя уравнения и изменились, но фазовые траектории остались теми же:

Группа, удовлетворяющая условию (38.17), также называется группой симметрий. Такая группа переводит интегральные кривые системы (38.16) в ее же интегральные кривые.

Теорема. Если система (38.16) допускает группу симметрий в расширенном смысле, то эта система может быть понижена в порядке.

Доказательство проводится, как и ранее, посредством перехода к каноническим координатам группы, в которых система (38.16) после приведения ее к форме (38.18) оказывается не зависящей от одной переменной.

Замечание. Этот результат не зависит от размерности пространства и, как и ранее, в случае плоскости для интегрирования в квадратурах достаточно знания лишь оператора группы. Пример. Уравнение Блазиуса:

Требуется понизить порядок.

Приводам предварительно это уравнение к нормальной форме Коши автономной системы:

Оператор этой системы таков:

Ищем группу симметрий при помощи изменения масштаба

Откуда видно, что правая часть приобретает общий скалярный множитель, если

Следовательно, однопараметрическая группа стшетрий (в расширенном смысле) имеет вид

или

Оператор этой группы

Коммутатор операторов в этом примере равен

Для понижения порядка системы достаточно перейти от переменных, в которых она записана, к переменным, являющимся каноническими координатами ее группы симметрий

Эта система представляет собой полную запись условий, которым должны удовлетворять канонические координаты, однако при практических вычислениях выписывать два нижних уравнения не требуется, поскольку все необходимые интегралы получаются уже из первого уравнения:

Обратная замена:

Осталось найти вид оператора Л в новых переменных:

Следовательно, исходные уравнения в новых переменных получают вид

В этом примере видно, в чем состоит отличие случая, когда от случая, когда . В первом случае при переходе к каноническим координатам система теряет зависимость от одной из переменных, во втором — зависимость от одной из Беременных присутствует лишь в виде общего скалярного множителя при всей правой части (в этом примере что не мешает понижению порядка:

Уравнение (38.17) позволяет поставить следующую задачу. Система (38.16) задана, требуется найти ее группу симметрий. В этом случае (38.17) представляет собой систему уравнений для нахождения коэффициентов неизвестного оператора Эта система имеет следующий вид:

Эта линейная система относительно неизвестных функций называется определяющей системой. Она относится к следующему типу систем:

Легко показать, что такие системы эквивалентны одному уравнению такого же вида, как и рассмотренные в разд. 36.

Если решений этого уравнения, для которых тогда найденные из них есть решения исходной системы.

Отметим важное свойство определяющей системы. Множество операторов, удовлетворяющих этой системе, образует алгебру. Это означает, что если некоторый оператор есть оператор группы симметрий уравнений (38.16) и некоторый другой оператор V — также оператор группы симметрий, т. е. То оператор также есть оператор группы симметрий.

В самом деле:

т. е.

Однако в силу тождества Якоби имеем

Поэтому

Но это и означает, что есть оператор симметрий.

Примеры решения определяющих уравнений с целью нахождения алгебры симметрий будут рассмотрены в разд. 42 и 43.