27. Осреднение в системах с ударными взаимодействиями

Наиболее типичной и наиболее распространенной причиной появления ударов в механических колебательных системах является внезапное наложение связей, проявляющееся в наличии различного рода ограничителей движения. Характерные примеры изображены на рис. 16 и 17. В первом случае одномерное движение массы под действием произвольной силы ограничено стенкой, с которой движущийся элемент массы испытывает соударения. Во втором случае (рис. 17) изображено весьма распространенное в технике ограничение типа «зазор». Рассмотрение задач такого рода составляет направление в теории колебаний, называемое теорией виброударных систем.

Рис. 16

Вид уравнений движения, обычно составляемых для систем с ограничителями движения, приведем на примере рис. 16:

— значения доударной и послеударной скоростей соответственно. Коэффициент к, определяющий изменение модуля скорости при отражении от стенки, называется коэффициентом восстановления (0 к 1).

Система (27.1) не может рассматриваться как дифференциальное уравнение с краевым условием. Краевые условия, понимаемые в обычном смысле, не меняя структуры системы, ограничивают класс решений (как и начальные условия). В системе же (27.1) условие на скорости в момент удара, не меняя размерности множества решений, меняет саму систему, сообщая ей новые свойства. Динамика осциллятора определяется совокупностью двух соотношений (27.1) еще до постановки какой-либо начальной или

граяичной задачи. Например, если в системе (27.1) положить то мы не получим линейную колебательную систему, поскольку для нее не будет выполнен принцип суперпозиции. Поэтому тот математический объект, который описывает движение колебательной системы с ограничителями и который выражается соотношениями типа (27.1), не представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида (18.1) и без каких-то дополнительных предварительных преобразований к нему развиваемые в настоящей книге методы неприменимы.

Между тем существует простой прием, позволяющий записать уравнения движения колебательной системы с ограничителями (с односторонними связями) в виде дифференциальных уравнений.

Рис. 17.

Рис. 18

Этот прием состоит в использовании негладких замен переменных, он применим для систем с односторонними связями в самом общем случае [29]. Здесь мы его рассмотрим на примере систем, изображенных на рис. 16, 17. В главе V будут рассмотрены более сложные примеры. Начнем со случая .

Рассмотрим негладкую функцию (рис. 18):

Если — дифференцируемая функция некоторого параметра то

Производная по параметру от терпит разрыв, причем и отношение в точности удовлетворяет условию на скорости из (27.1) в случае Это означает, что если в системе (27.1) выполнить замену переменной по формуле (27.2), то следующее дифференциальное уравнение будет эквивалентно системе двух соотношений (27.1):

Это уравнение описывает движение на бесконечном интервале времени, автоматически учитывая удары об ограничитель. В общем «случае уравнение (27.3) содержит разрывы первого рода, хотя в частных случаях их может и не быть, как показывает следующий пример.

Пример. Пусть в уравнении (осциллятор с ограничителем и с диссипацией).

Рис. 19

Рис. 20

Уравнение (27.3) запишется следующим образом:

Его общее решение есть

Подставляя это решение в формулу замены (27.2), получим решение в исходной переменной (рис. 19)

В этом примере уравнение (27.3) получилось гладким потому, что положение равновесия было выбрано на границе . Если стенка отстоит от положения равновесияв на некоторое расстояние А (может иметь произвольный знак), то уравнение (27.3) уже не будет гладким. Рассмотрим этот пример подробнее.

Пример. Изучить колебания осциллятора на рис. 20 под действием периодической и вязкой сил:

Замена, аналогичная (27.2), имеет вид

Дифференциальное уравнение для переменной эквивалентное выписанной системе соотношений, запишется так:

Или в нормальной форме Коши:

Полагая величины малыми, осуществим замену переменных в (27.5), выбирая в качестве замены решение вырожденной (при системы

Фоновых переменных система (27.5) примет вид

Здесь

Система (27.7) имеет стандартную форму с одной медленной переменной х и с двумя быстрыми фазами Эта система квазилинейная, корректность применения метода осреднения к ней гарантируется теоремой Боголюбова. Все условия теоремы выполнены (разрывы правой части по быстрой переменной допустимы).

Временное среднее правых частей системы терпит разрыв на следующих резонансных прямых:

Изучим резонанс при некотором фиксированном введя расстройку частот . В соответствии с процедурой изучения резонанса вводим медленную фазу откуда

Подставляя (27.8) в (27.7), получим

Осредняя правые части системы (27.9) по фазе найдем

Введем обозначения

Уравнения стационарного режима примут вид

Нетрудно написать решение этой системы:

При выводе уравнений (27.7) было использовано предположение, что поскольку х было вынесено. Поэтому, накладывая условие 0 на (27.13), получим условие существования

стационарного режима. Положительность подкоренного выражения в (27.13) влечет за собой еще одно условие существования которое в исходных параметрах (27.11) запишется

Из этого условия видно, что при или все резонансы рассматриваемого вида существуют. Для , начиная с некоторого номера стационарный резонансный режим невозможен.

Изучим устойчивость найденных решений (27.13). Уравнения в вариациях для системы (27.10) имеют вид

Учитывая уравнения стационарного режима (27.12), характеристическое уравнение системы в вариациях получим в виде

Откуда получаем необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости

Из второго неравенства вытекает, что

Сравнивая (27.13) и (27.15), заключаем, что устойчивыми являются ветви амплитудно-частотной характеристики, соответствующие верхнему знаку в (27.13).

Имея в виду (27.4), (27.6), (27.8), запишем найденные решения в исходных переменных:

где .

Рассмотрим теперь задачу, изображенную на рис. 17. Пусть вначале коэффициент восстановления равен единице: Уравнения движения материальной точки могут быть записаны в виде

Произвол в выборе масштаба длины позволяет считать зазор равным . Наряду с введенной ранее функцией введем в рассмотрение функцию

Рис. 21

По аналогии с уже рассмотренной заменой (27.2) выполним в (27.16) замену переменной по формуле (рис. 21)

Непосредственной проверкой легко убедиться, что нижеследующее дифференциальное уравнение эквивалентно системе соотношений (27.16) в силу замены (27.18):

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (27.19):

а) F = 0, т. е. имеем свободную точку в зазоре. Из (27.19) получаем откуда общее решение Возвращаясь к исходной переменной по формуле (27.18), получим

Движение осуществляется по «пиле» с произвольной частотой и произвольной начальной фазой.

б) — нечетно и положительно. Точка движется в среде с нелинейным симметричным трением. Учитывая, что если нечетно, найдем откуда для уравнения (27.19) получается Решая это уравнение и подставляя в замену (27.18), находим

— произвольные постоянные.

в) — точка совершает вынужденные колебания в среде с вязким сопротивлением. Уравнение (27.19) примет вид

Или в нормальной форме Коши

Если считать малыми параметрами, написанная система уже имеет вид систем в стандартной форме с двумя быстрыми фазами и и одной медленной переменной у. Причем частота изменения быстрой переменной зависит от медленной переменной

Случай существенно нелинейный. Вычисляя временное среднее (см. разд. 22) от правых частей, находим резонансное соотношение где произвольное целое число. Это резонансное соотношение диктует формулу перехода к медленной фазе Уравнения в новых переменных получаются такими:

Как показано в разд. 24, уравнения второго приближения по параметру совпадают с прямым осреднением системы по быстрым фазам. Поэтому, не делая промежуточной замены для строгого приведения системы к стандартной форме, в которой — медленная фаза, и осредняя по получим

Условия стационарности режима дают:

что позволяет получить условия существования стационарного режима То есть при достаточно большой вязкости или достаточно малом возбуждении резонансный режим невозможен.

Рассмотрев уравнения в вариациях осредненной системы, получаем условие устойчивости

Рассмотренные выше негладкие замены типа (27.2) и (27.18) обеспечивали точное выполнение условий на скорость в момент удара для случая (так называемый абсолютно упругий, или идеальный, удар).

В колебательных системах с ограничителями типа «зазор» (рис. 17) обобщение на случай произвольного в интервале (0, 1] коэффициента восстановления несложно. Условия на околоударные скорости будут выполнены точно, если вместо замены (27.18) воспользоваться заменой

и если в силу преобразованных уравнений скорость не обращается в нуль: Этому условию будут удовлетворять все такие движения, когда материальная точка испытывает поочередные столкновения с разными стенками. Для колебательных систем это условие часто оказывается выполненным. Сами уравнения (27.16) в силу замены (27.20) эквивалентны дифференциальному уравнению

Пример. свободная материальная точка в зазоре с коэффициентом восстановления

Уравнение (27.21) в нормальной форме Коши есть

Считая — малым параметром и осредняя по быстрой переменной получим

Решение этой системы

Или в исходной переменной