Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 27. Осреднение в системах с ударными взаимодействиямиНаиболее типичной и наиболее распространенной причиной появления ударов в механических колебательных системах является внезапное наложение связей, проявляющееся в наличии различного рода ограничителей движения. Характерные примеры изображены на рис. 16 и 17. В первом случае одномерное движение массы под действием произвольной силы ограничено стенкой, с которой движущийся элемент массы испытывает соударения. Во втором случае (рис. 17) изображено весьма распространенное в технике ограничение типа «зазор». Рассмотрение задач такого рода составляет направление в теории колебаний, называемое теорией виброударных систем.
Рис. 16 Вид уравнений движения, обычно составляемых для систем с ограничителями движения, приведем на примере рис. 16:
Система (27.1) не может рассматриваться как дифференциальное уравнение с краевым условием. Краевые условия, понимаемые в обычном смысле, не меняя структуры системы, ограничивают класс решений (как и начальные условия). В системе же (27.1) условие на скорости в момент удара, не меняя размерности множества решений, меняет саму систему, сообщая ей новые свойства. Динамика осциллятора определяется совокупностью двух соотношений (27.1) еще до постановки какой-либо начальной или граяичной задачи. Например, если в системе (27.1) положить Между тем существует простой прием, позволяющий записать уравнения движения колебательной системы с ограничителями (с односторонними связями) в виде дифференциальных уравнений.
Рис. 17.
Рис. 18 Этот прием состоит в использовании негладких замен переменных, он применим для систем с односторонними связями в самом общем случае [29]. Здесь мы его рассмотрим на примере систем, изображенных на рис. 16, 17. В главе V будут рассмотрены более сложные примеры. Начнем со случая Рассмотрим негладкую функцию
Если
Производная по параметру от
Это уравнение описывает движение на бесконечном интервале времени, автоматически учитывая удары об ограничитель. В общем «случае уравнение (27.3) содержит разрывы первого рода, хотя в частных случаях их может и не быть, как показывает следующий пример. Пример. Пусть в уравнении
Рис. 19
Рис. 20 Уравнение (27.3) запишется следующим образом:
Его общее решение есть
Подставляя это решение в формулу замены (27.2), получим решение в исходной переменной (рис. 19)
В этом примере уравнение (27.3) получилось гладким потому, что положение равновесия было выбрано на границе Пример. Изучить колебания осциллятора на рис. 20 под действием периодической и вязкой сил:
Замена, аналогичная (27.2), имеет вид
Дифференциальное уравнение для переменной
Или в нормальной форме Коши:
Полагая величины
Фоновых переменных система (27.5) примет вид
Здесь Система (27.7) имеет стандартную форму с одной медленной переменной х и с двумя быстрыми фазами Временное среднее правых частей системы терпит разрыв на следующих резонансных прямых:
Изучим резонанс при некотором фиксированном
Подставляя (27.8) в (27.7), получим
Осредняя правые части системы (27.9) по фазе
Введем обозначения
Уравнения стационарного режима примут вид
Нетрудно написать решение этой системы:
При выводе уравнений (27.7) было использовано предположение, что стационарного режима. Положительность подкоренного выражения в (27.13) влечет за собой еще одно условие существования
Из этого условия видно, что при Изучим устойчивость найденных решений (27.13). Уравнения в вариациях для системы (27.10) имеют вид
Учитывая уравнения стационарного режима (27.12), характеристическое уравнение системы в вариациях получим в виде
Откуда получаем необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости
Из второго неравенства вытекает, что
Сравнивая (27.13) и (27.15), заключаем, что устойчивыми являются ветви амплитудно-частотной характеристики, соответствующие верхнему знаку в (27.13). Имея в виду (27.4), (27.6), (27.8), запишем найденные решения в исходных переменных:
где Рассмотрим теперь задачу, изображенную на рис. 17. Пусть вначале коэффициент восстановления равен единице:
Произвол в выборе масштаба длины позволяет считать зазор равным
Рис. 21 По аналогии с уже рассмотренной заменой (27.2) выполним в (27.16) замену переменной
Непосредственной проверкой легко убедиться, что нижеследующее дифференциальное уравнение эквивалентно системе соотношений (27.16) в силу замены (27.18):
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (27.19): а) F = 0, т. е. имеем свободную точку в зазоре. Из (27.19) получаем
Движение осуществляется по «пиле» с произвольной частотой и произвольной начальной фазой. б)
в)
Или в нормальной форме Коши
Если считать Случай существенно нелинейный. Вычисляя временное среднее (см. разд. 22) от правых частей, находим резонансное соотношение
Как показано в разд. 24, уравнения второго приближения по параметру
Условия стационарности режима
что позволяет получить условия существования стационарного режима Рассмотрев уравнения в вариациях осредненной системы, получаем условие устойчивости
Рассмотренные выше негладкие замены типа (27.2) и (27.18) обеспечивали точное выполнение условий на скорость в момент удара для случая В колебательных системах с ограничителями типа «зазор» (рис. 17) обобщение на случай произвольного в интервале (0, 1] коэффициента восстановления несложно. Условия на околоударные скорости будут выполнены точно, если вместо замены (27.18) воспользоваться заменой
и если в силу преобразованных уравнений скорость
Пример. Уравнение (27.21) в нормальной форме Коши есть
Считая
Решение этой системы
Или в исходной переменной
|
1 |
Оглавление
|