36. Линейные уравнения с частными производными

Как видно из предыдущего, задача нахождения инвариантов (35.7) и инвариантных семейств приводит к необходимости решать линейные уравнения с частными производными

— однородное уравнение в случае поиска инварианта

— неоднородное уравнение в случае поиска инвариантного семейства.

Рассмотрим вначале однородное уравнение. Поставим ему в соответствие систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Теорема. Функция тогда и только тогда является решением уравнения (36.1), когда она есть первый интеграл системы (36.3).

Доказательство. Следует из уравнения Лиувилля (35.2). Рецепт построения общего решения уравнения (36.1),

следовательно, таков. Небходим первых интегралов системы Тогда общим решением (36.3) будет произвольная функция этих первых интегралов

Решение неоднородного уравнения (36.2) сводится к решению однородного уравнения, если искать это решение в неявной форме:

Тогда

и после подстановки в (36.2) получаем

Общее решение этого уравнения есть произвольная функция первых интегралов:

Приравнивая ее нулю и разрешая относительно со, и получаем решение уравнения (36.2).

Пример. Найти инвариантные семейства группы вращения.

Этому уравнению соответствует следующее однородное:

Эквивалентная система обыкновенных уравнений

имеет следующие первые интегралы. Из уравнения находим Из уравнения

находим

Общее решение (36.4) есть

Приравнивая нулю и разрешая относительно , получим

Р — произвольная функция.

Если то определяет пучок прямых, проходящих через начало координат. Если то определяет семейство спиралей Архимеда.