54. Об устойчивости стационарных движений плоского тела в поле центральной силы

Тело, центр масс которого расположен в точке (рис. 64), совершает плоское движение под действием силы, приложенной к точке О тела и притягивающей ее к неподвижной точке плоскости О. Расстояние равно и называется в дальнейшем эксцентриситетом. Притягивающая сила направлена по вектору а модуль ее зависит только от модуля этого вектора где

Для функции будем считать выполненными следующие условия: при Предположения о существовании высших производных вводятся в дальнейшем по мере необходимости. Чаще будет использоваться не сама функция а связанная с ней безразмерная функция а

Отметим ее некоторые свойства: если — выпуклая снизу функция, то если — выпуклая сверху, то если — линейная функция, то а если — степенная функция, то а

Рассматриваемая сила потенциальна, через будем обозначать ее потенциал: Принимая обозначенные на рис. 64 переменные в качестве обобщенных координат, выпишем функцию Лагранжа:

Рис. 64

Рис. 65

Единицей измерения линейных размеров выбран радиус инерции тела относительно центра масс. Масса тела принята равной единице. Для описанной системы требуется найти стационарные режимы и изучить их на устойчивость.

Уравнения движения в соответствии с функцией Лагранжа (54.1) приводятся к следующему виду:

Система нелинейных дифференциальных уравнений (54.2) имеет много общего с системой уравнений, описывающих движение твердого тела [20] вокруг неподвижной точки в углах Эйлера. Обе системы шестого порядка имеют одинаковые первые интегралы полной энергии и момента количеств движения, одинаковой является и постановка задачи об интегрируемости в квадратурах: достаточно знать оцин дополнительный первый интеграл, независимый от указанных. Различной, однако, является топология конфигурационного многообразия.

Для уравнения (54.2) интегрируемым будет случай При этом уравнения движения вокруг центра масс и движения центра масс разделяются. Для движения вокруг центра масс

Задача же о движении центра масс представляет собой хорошо известную задачу о движении материальной точки в поле притягивающего центра. Интегрируемые случаи при в настоящее время неизвестны, однако при этом очевидно существование частных решений вида

представляющих собой равномерное вращение тела вокруг центра масс с угловой скоростью со и равномерное обращение центра масс вокруг точки О с той же угловой скоростью.

Подставляя соотношения (54.3) в (54.2), найдем два семейства решений:

Параметром семейства при заданном в является постоянная интегрирования .

Для частного случая, когда — выпуклая снизу функция, т. е. а уравнение (54.4) при имеет единственное относительно решение, при — два решения или ни одного. Зависимость корней от угловой скорости со для этого частного случая изображена на рис. 65.

В дальнейшем уравнения (54.4), определяющие величину стационарного радиуса удобно объединить:

считая, что может быть как положительным, так и отрицательным. При этом стационарный режим, обозначенный на рис. 65 точкой А, получается для режимы В и С — для Если это эквивалентно условию то скелетная кривая выходит из начала координат.

Установим некоторые свойства амплитудно-частотной характеристики (54.5). Дифференцируя по найдем

Если обозначить , то поведение в окрестности нуля определяется соотношением что при малых дает Следовательно, если то амплитудно-частотная характеристика входит в нуль, касаясь оси частот, если то вход осуществляется с конечным углом, если то характеристика касается в нуле оси амплитуд.

Из (54.5) следует, что для точек амплитудно-частотной харак) теристики, имеющих вертикальную касательную (точки бифуркации), выполнено соотношение

Или, используя (54.5), а также определение а получим

Это уравнение определяет геометрическое место точек, в котором амплитудно-частотные характеристики, рассматриваемые как семейство относительно параметра имеют вертикальные касательные.

Исследование устойчивости стационарных режимов удобно проводить, пользуясь методами гамильтоновой механики [41]. При этом вместо исходных обобщенных координат будем пользоваться координатами связанными с ними следующим

образом:

Функция Гамильтона исходной системы в соответствии с лагранжианом (54.1) и заменой (54.8) запишется в виде

где — обобщенные импульсы; — константа циклического интеграла:

Гамильтониан (54.9) имеет стационарные точки, соответствующие стационарным решениям (54.3):

где а удовлетворяет уравнению и связано с следующим образом:

Общий подход к исследованию устойчивости стационарных! режимов состоит в следующем.

В окрестности выбранного стационарного режима гамильтониан (54.9) раскладывается по степеням вариаций переменных

где — форма степени относительно переменных. Длявй риаций переменных в окрестности стационарного режима сохраняются обозначения самих переменных.

Пусть А — матрица квадратичной формы Составляем характеристическое уравнение

где Е — единичная матрица.

Пусть — корни уравнения (54.12). Если по крайней мере один из корней характеристического уравнений имеет положительную вещественную часть, следовательно, на основании теоремы Ляпунова исследуемый режим неустойчив.

Случай, когда распадается на два подслучая: квадратичная форма знакоопределенная; эта форма индефинитна.

В первом подслучае знакоопределенным в некоторой окрестности нуля является и весь гамильтониан, а так как он является интегралом движения, то в силу первой теоремы Ляпунова рассматриваемый стационарный режим устойчив.

Второй подслучай наиболее сложный, поскольку для: строгого рассмотрения проблемы устойчивости необходимо в разложении (54.11) учитывать наряду с и члены более высокого порядка.

Предполагая далее применить теоремы Арнольда—Мозера [41], ограничим разложение (54.11) членами до четвертого порядка

включительно, приведя его к нормальной форме Биркгофа степени четыре:

где для сокращения записи

Условие индефинитности означает, что и в (54.13) имеют разные знаки:

Если в системе нет резонанса до четвертого порядка включительно:

и если то стационарное решение, в окрестности которого получено разложение гамильтониана (54.11), устойчиво.

Изложенная программа применяется к конкретному гамильтониану (54.9), для разных стационарных точек которого имеют место все три случая исследования устойчивости.

Квадратичная часть функции Гамильтона (54.9) имеет вид

здесь использовано выражение для постоянной циклического интеграла , а зависит от .

Применение критерия Сильвестра к форме (54.15) приводит к следующим достаточным условиям устойчивости стационарного режима:

Характеристическое уравнение (54.12) для формы (54.15) получается в виде

Достаточные условия неустойчивости представляют собой выполнение хотя бы одного из неравенств или в явном виде

Дадим пример анализа соотношений (54.16) и (54.18) для случая выпуклых снизу функций . В этом случае и из условий (54.16) остается единственное неравенство

Рис. 66

, так как два других из него следуют (было принято во внимание, что а Это единственное неравенство означает, что при любых выпуклых функциях все дорезонансные режимы устойчивы для любых параметров исходной системы. Устойчивость, таким образом, следует, по теореме Ляпунова, из положительной определенности гамильтониана.

Для частного случая линейной упругости этот результат был установлен Четаевым.

Достаточные условия неустойчивости в случае а 1 приводятся к виду

здесь должны быть выполнены одновременно оба неравенства.

Это соотношение удобно проанализировать, если единицей измерения линейных размеров взять не радиус инерции тела а эксцентриситет е. Условия неустойчивости (54.19) при этом примут вид

Область неустойчивости в плоскости параметров построенная в соответствии с (54.20) (рис. 66), заштрихована. Точка а является решением уравнения которое совпадает с уравнением (54.7), т. е. точке бифуркации (рис. 65) и соответствует точка а.

График (рис. 66) показывает, что при любых все режимы с амплитудой а неустойчивы, т. е. всегда неустойчивым будет участок амплитудно-частотной характеристики выше точки При фиксированном неустойчивый участок расширяется до точки, соответствующей точке Е (рис. 65).

Если момент инерции равен нулю, то вся зарезонансная ветвь амплитудно-частотной характеристики оказывается неустойчивой. Если момент инерции равен бесконечности, то неустойчивый участок заканчивается в точке что соответствует обычным «бифуркационным соображениям». Данный пример показывает, с какой осторожностью надо подходить к таким «соображениям», всякий раз тщательно проверяя выполнение условий, при которых они законны.

Режимы, соответствующие точкам амплитудно-частотной характеристики, расположенным правее точки Е, не удовлетворяют ни достаточным условиям устойчивости, ни достаточным условиям неустойчивости. Именно для этих режимов форма Н

индефинитна и для установления устойчивости надо проверить условия (54.14).

Поскольку нарушение этих условий не может быть тождественным, незаштрихованная область (рис. 66) представляет собой область устойчивости, за исключением множества нулевой меры, а участок кривой (рис. 65), лежащий правее точки Е — участок устойчивых режимов, за исключением, возможно, конечного числа точек на любом конечном отрезке.

Важно отметить, что при точка Е, в которой неустойчивые режимы переходят в устойчивые, стремится к точке и обе вместе стремятся к точке выхода скелетной кривой с оси .

Это означает, что все стационарные режимы, достаточно близкие (при малых ) к режиму для устойчивы.

Устойчивость режима при следует из теоремы Лагранжа. Устойчивость этого же режима при любом гамильтоновом возмущении (значит, и при возмущении посредством малого ) следует из теоремы Колмогорова о сохранении инвариантных торов, поскольку рассматриваемая после исключения циклического интеграла система — система четвертого порядка, а ее гамильтониан удовлетворяет условию невырожденности при