Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
54. Об устойчивости стационарных движений плоского тела в поле центральной силыТело, центр масс которого расположен в точке Для функции Отметим ее некоторые свойства: если Рассматриваемая сила
Рис. 64
Рис. 65 Единицей измерения линейных размеров Уравнения движения в соответствии с функцией Лагранжа (54.1) приводятся к следующему виду:
Система нелинейных дифференциальных уравнений (54.2) имеет много общего с системой уравнений, описывающих движение твердого тела [20] вокруг неподвижной точки в углах Эйлера. Обе системы шестого порядка имеют одинаковые первые интегралы полной энергии и момента количеств движения, одинаковой является и постановка задачи об интегрируемости в квадратурах: достаточно знать оцин дополнительный первый интеграл, независимый от указанных. Различной, однако, является топология конфигурационного многообразия. Для уравнения (54.2) интегрируемым будет случай Задача же о движении центра масс представляет собой хорошо известную задачу о движении материальной точки в поле притягивающего центра. Интегрируемые случаи при
представляющих собой равномерное вращение тела вокруг центра масс с угловой скоростью со и равномерное обращение центра масс вокруг точки О с той же угловой скоростью. Подставляя соотношения (54.3) в (54.2), найдем два семейства решений:
Параметром семейства при заданном в является постоянная интегрирования Для частного случая, когда В дальнейшем уравнения (54.4), определяющие величину стационарного радиуса
считая, что Установим некоторые свойства амплитудно-частотной характеристики (54.5). Дифференцируя по
Если обозначить Из (54.5) следует, что для точек амплитудно-частотной харак) теристики, имеющих вертикальную касательную (точки бифуркации), выполнено соотношение
Или, используя (54.5), а также определение а Это уравнение определяет геометрическое место точек, в котором амплитудно-частотные характеристики, рассматриваемые как семейство относительно параметра Исследование устойчивости стационарных режимов удобно проводить, пользуясь методами гамильтоновой механики [41]. При этом вместо исходных обобщенных координат образом:
Функция Гамильтона исходной системы в соответствии с лагранжианом (54.1) и заменой (54.8) запишется в виде
где Гамильтониан (54.9) имеет стационарные точки, соответствующие стационарным решениям (54.3):
где а удовлетворяет уравнению Общий подход к исследованию устойчивости стационарных! режимов состоит в следующем. В окрестности выбранного стационарного режима гамильтониан (54.9) раскладывается по степеням вариаций переменных
где Пусть А — матрица квадратичной формы
где Е — единичная Пусть Случай, когда В первом подслучае знакоопределенным в некоторой окрестности нуля является и весь гамильтониан, а так как он является интегралом движения, то в силу первой теоремы Ляпунова рассматриваемый стационарный режим устойчив. Второй подслучай наиболее сложный, поскольку для: строгого рассмотрения проблемы устойчивости необходимо в разложении (54.11) учитывать наряду с Предполагая далее применить теоремы Арнольда—Мозера [41], ограничим разложение (54.11) членами до четвертого порядка включительно, приведя его к нормальной форме Биркгофа степени четыре:
где для сокращения записи Условие индефинитности Если в системе нет резонанса до четвертого порядка включительно:
и если Изложенная программа применяется к конкретному гамильтониану (54.9), для разных стационарных точек которого имеют место все три случая исследования устойчивости. Квадратичная часть функции Гамильтона (54.9) имеет вид
здесь использовано выражение для постоянной циклического интеграла Применение критерия Сильвестра к форме (54.15) приводит к следующим достаточным условиям устойчивости стационарного режима:
Характеристическое уравнение (54.12) для формы (54.15) получается в виде
Достаточные условия неустойчивости представляют собой выполнение хотя бы одного из неравенств
Дадим пример анализа соотношений (54.16) и (54.18) для случая выпуклых снизу функций
Рис. 66
Для частного случая линейной упругости Достаточные условия неустойчивости в случае а 1 приводятся к виду
здесь должны быть выполнены одновременно оба неравенства. Это соотношение удобно проанализировать, если единицей измерения линейных размеров взять не радиус инерции тела
Область неустойчивости в плоскости параметров График (рис. 66) показывает, что при любых Если момент инерции равен нулю, то вся зарезонансная ветвь амплитудно-частотной характеристики оказывается неустойчивой. Если момент инерции равен бесконечности, то неустойчивый участок заканчивается в точке Режимы, соответствующие точкам амплитудно-частотной характеристики, расположенным правее точки Е, не удовлетворяют ни достаточным условиям устойчивости, ни достаточным условиям неустойчивости. Именно для этих режимов форма Н индефинитна и для установления устойчивости надо проверить условия (54.14). Поскольку нарушение этих условий не может быть тождественным, незаштрихованная область (рис. 66) представляет собой область устойчивости, за исключением множества нулевой меры, а участок кривой (рис. 65), лежащий правее точки Е — участок устойчивых режимов, за исключением, возможно, конечного числа точек на любом конечном отрезке. Важно отметить, что при Это означает, что все стационарные режимы, достаточно близкие (при малых Устойчивость режима
|
1 |
Оглавление
|