11. Метод вариации постоянных Лагранжа в форме Булгакова

Общее решение матричного уравнения (10.1) может быть как и в случае однородного уравнения приведено к действительной форме. Это преобразование приводится здесь для случая, когда

матрица для всех корней характеристического уравнения имеет линейные элементарные делители.

Пусть корень характеристического уравнения, поэтому старший же детерминантный делитель Принимая во внимание формулу (4.3) и тот факт, что элементарные делители линейны, находим, что Поэтому все элементы присоединенной матрицы представляются в виде и при они обращаются в нуль с производными до порядка, откуда

а

должна иметь ранг Как и в разд. 10, переобозначим корни корни, соответствующие первой группе обозначим теперь через корни, соответствующие второй группе обозначим через корни обозначим через К.

Возьмем линейно независимых столбцов матрицы в качестве модальных столбцов

Сама матрица может быть представлена в виде

Здесь линейно независимых матриц-строк, элементы которых могут быть найдены из уравнения (11.2) после того, когда выбраны модальные столбцы

Принимая во внимание соотношения (11.1) и (11.2), перепишем формулу (10.21) для в следующей форме:

или

где суммирование опять ведется по всем корням (-кратный корень Ко встречается в сумме раз).

Общее решение однородного матричного уравнения было преобразовано к действительному виду в разд. 7. Обращаясь к

формулам (7.6), (7.11), (7.13) и (7.14), имеем

В этих формулах и в формуле (11.3) для для действительных корней модальные столбцы берутся в качестве собственных модальных столбцов: модальные столбцы соответствующие комплексным корням выражаются через собственные модальные столбцы

Обозначим через матрицы-строки, соответствующие действительным корням (см. формулу (11.2)), через — матрицы-строки, соответствующие комплексным корням Используя их, введем матрицы-строки

и из этих матриц-строк составим матрицу

Подставляя модальные столбцы и матрицы-строки в формулу (11.3) для и принимая во внимание соотношения (7.9) и (11.4), получаем

Решение (10.20) может быть теперь представлено в виде

где

Общее решение (11.8) неоднородного уравнения получается из общего решения однородного уравнения заменой . Из этого следует, что оно получено методом вариации постоянных.

Обращаясь к формулам (3.13), (3.14) и используя блочную форму записи матриц, перепишем соотношение (11.9) в следующей форме:

Используя для этого соотношения формулы (3.15)-(3.16), находим

Два последних соотношения могут быть переписаны в эквивалентной форме:

В дальнейшем нам понадобятся не только решение х, но и его производные Дифференцируя решение раз, находим

где

При v = 0 мы получаем само решение х.

Введем матрицы-столбцы

и составим из них матрицу

Кроме того, введем матрицы-столбцы

и составим из них матрицу

Принимая во внимание соотношения получаем

Используя матрицу Кейли (см. разд. 3), так же как при выводе формулы (7.13), получаем

и

Приводя производную к действительному виду так же, как в разд. 11 саму функцию находим

откуда получаем величины

входящие в (см. (11.13)).

Выражение х может быть теперь представлено в виде