60. Виброударная система с ограниченным возбуждением

Рассмотрим вынужденное движение линейной колебательной системы, возбуждаемой от источника периодического возбуждения ограниченной мощности, находящейся между жесткими ограничителями, расположенными симметрично относительно положения равновесия системы. Уравнения движения системы записываются

в виде

Здесь — масса и жесткость колебательной системы; — момент инерции ротора и радиус кривошипа соответственно; — момент двигателя и момент сил сопротивления. Функция представляет собой условную запись, отражающую ударное взаимодействие, которое будем характеризовать коэффициентом восстановления скорости при ударе Изменим линейный масштаб так, чтобы зазор был равен Введем обозначения:

где — безразмерный малый параметр. В новых обозначениях уравнения (60.1) запишутся в виде

Сделаем замену переменных согласно формуле

где - периодическая функция, определенная в разд. 27 как

— периодическая несмещенная функция, такая, что

В новых переменных уравнения (60.2) примут форму

В уравнениях (60.5) сингулярная функция характеризующая ударное взаимодействие с ограничителями, исчезла. В этом и состоял смысл замены (60.3), которая обеспечивает точное выполнение всех условий удара для любых движений, для которых

В отличие от системы (60.2) система (60.5) допускает корректное применение метода осреднения.

Полагая оставляя члены одного порядка малости, получим

или, имея в виду тождество перепишем (60.6) в нормальной форме Коши:

Порождающая система

допускает следующие интегралы:

где — полная энергия системы; — произвольные постоянные. В зависимости от значения система совершает либо колебательное, либо вращательное движение. В первом случае колебательная система не достигает упоров и движение имеет вид гармонических колебаний как по переменной х, так и по переменной у.

Рассмотрим ситуацию, когда уравнение не имеет действительных корней. Заметим, что при этом

Из (60.9) находим

где — функция антье; — частота колебаний, зависящая от энергии .

Если обозначить то можно записать в виде , где — периодическая по функция с

периодом я:

Ряд (60.11) весьма быстро сходится; так, в резонансном случае, когда амплитуды гармоник имеют значения

В системе (60.7) сделаем замену переменных по формулам

В результате получим

Преобразование (60.11) сводит систему (60.7) к схеме с двумя быстрыми фазами Рассмотрим случай главного резонанса , вводя медленную переменную получим систему уравнений с одной быстрой фазой

Первые три уравнения (60.14) приведены к стандартной форме; полагая в и проводя осреднение в (60.14) по получим осредненные уравнения первого приближения для

Рис. 72

Рис. 73

где — неэлементарная монотонно убывающая функция, определяемая выражением

Рассмотрим стационарные режимы исследуемой системы. Полагая в из второго уравнения получим амплитудно-частотную характеристику

Подставляя (60.16) в первое уравнение (60.15), находим фазочастотную характеристику. При больших значениях Н первое уравнение в (60.15) можно упростить:

тогда выражение для фазы приобретает вид

Условие существования стационарного режима определяется неравенством

Амплитудно-частотная характеристика и фазочастотная характеристика системы представлены на рис. 72, 73. Плоскость разбивается на две части значениями , при которых колебательная система совершает движение с ударами или без ударов. При система не достигает упоров. При движение колебательной системы происходит с поочередными ударами об упоры. Затягивание виброударного режима происходит до значений превышение которого приводит к срыву виброударного движения, и система выходит на амплитудно-частотную характеристику безударного режима.

Частота срыва виброударного движения определяется выражением

Взяв в только один член, из (60.15) получим скелетную кривую амплитудно-частотной характеристики. Удерживая в первый член ряда (60.11), получим усредненные уравнения уточненного первого приближения для

Уравнения (60.18) дают две ветви амплитудно-частотной характеристики, расположенные симметрично относительно (60.16) в зависимости от знака Стыковка амплитудно-частотных характеристик систем без упоров и с упорами происходит на линии

Устойчивость стационарных режимов — приближенных решений системы уравнений (60.15) — может быть выяснена посредством составления уравнений в вариациях системы (60.15) с последующим применением критерия Рауса — Гурвица. Обозначая правые части (60.15) через а частные производные от по в стационарных точках соответственно, получим следующие необходимые и достаточные условия устойчивости найденных стационарных решений (60.16), (60.17):

Условие дает неравенство

которое выполняется всегда, так как по смыслу рассматриваемой задачи Неравенство выполняется при

Таким образом, из двух значений 0

в стационарном режиме не реализуется в системе, и соответствующая ему правая ветвь амплитудно-частотной характеристики характеризует неустойчивые режимы. Эти режимы близки к противофазным. Решение вопроса об устойчивости значений дает

третье неравенство (60.19), откуда получаем, что из области значений удовлетворяющих второму неравенству устойчивыми являются значения из интервала

Таким образом, при в системе оба ударных режима неустойчивы. Заметим, что если в системе (60.1) устремить то в пределе уравнения по у и по распадаются; осциллятор не оказывает воздействия на двигатель. При этом в условии устойчивости и область устойчивых значений на амплитудно-частотной характеристике распространяется на всю ее верхнюю ветвь. В результате имеем, что ограниченность мощности двигателя приводит к уменьшению области существования устойчивых режимов. На рис. 72, 73 неустойчивые решения показаны пунктирной линией.