Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 46. Одночастотный метод осреднения на основе формулы ХаусдорфаВ основе излагаемого ниже алгоритма асимптотического интегрирования уравнений механики [26] лежит представление об исходной системе как об одночленной группе Ли преобразований фазового пространства в себя (см. разд. 34). Преобразования системы, приводящие ее к более простому виду, ищутся в классе преобразований, обладающих групповыми свойствами. Такое согласование инструмента анализа с объектом анализа позволяет ограничить используемые в алгоритме операции лишь операциями из соответствующей алгебры операторов. После работы Хори [65], в которой для построения дополнительного первого интеграла в автономной гамильтоновой системе были применены ряды Ли, последовала серия работ, распространяющих этот подход на автономные системы общего вида (Хори, Кемел и др., обзор таких результатов можно найти в [23, 37]). Заметим, что все такие работы представляют собой, по существу, лишь различные формы вывода известной из теории групп Ли формулы Хаусдорфа (см. разд. 38), слегка осложненные идеей отождествления параметров и разделения порядков. Существенно новые результаты здесь могут быть получены при отказе от рассмотрения систем общего вида и при переходе к анализу каких-то более специальных типов систем, характерных для тех или иных областей асимптотической теории, с целью усовершенствования уже имеющихся там процедур. При этом сразу следует исходить из формулы Хаусдорфа, не повторяя в очередной раз ее вывод. Именно такой путь и предпринят в настоящем разделе, где рассматриваются системы в одночастотной стандартной форме (см. разд. 18). Этот вид систем является базовым для асимптотического метода Крылова—Боголюбова (см. разд. 20), который и удается существенно упростить, используя теоретико-групповые принципы. Объективными признаками такого упрощения являются: 1) отсутствие необходимости разрешать относительно старших производных преобразованные на каждом шаге системы, как это делалось в разд. 20, или обращать уравнения замены; 2) в излагаемом ниже алгоритме не используются ряды по степеням малого параметра, изложение процедуры удается провести сразу в терминах искомых асимптотик; 3) выражение для произвольного приближения удается получить в виде явной рекуррентной формулы, удобной при использовании ЭВМ, выполняющих символьные выкладки. Обобщение излагаемого алгоритма на многочастотные системы, существенно нелинейные, и трактовка резонансных случаев даются в следующем разделе. Рассматривается система, описываемая дифференциальными уравнениями следующего вида:
где x — скалярная переменная; у — вектор размерности Присутствие в системе малого параметра позволяет эффективно использовать его для формирования процедур асимптотического построения приближенных решений. При этом наиболее плодотворный подход состоит не в прямом построении решений, а в приведении системы (46.1) к виду, более удобному для анализа, а также и для решения (см. гл. II). Методы такого приведения, будучи достаточно простыми и удобными при построении одного-двух приближений, становятся крайне громоздкими с увеличением числа приближений. Возникает естественная потребность в рационализации соответствующих процедур. Принцип такой рационализации может основываться на идее максимального согласования по групповым признакам инструмента исследования с объектом исследования. Примеры такого согласования в механике имеются: линейные системы естественно преобразовывать линейными заменами; кинематические уравнения Эйлера нелинейны и имеют особенности, однако, если заметить, что повороты твердого тела образуют группу Система (46.1) с произвольными нелинейными правыми частями тем не менее порождает весьма узкий класс отображений фазового пространства в себя — однопараметрическую группу Ли (см. разд. 34) с оператором:
Поэтому и преобразование системы (46.1) следует искать не в классе произвольных нелинейных замен, как это обычно делается, а в виде однопараметрической группы Ли, порождаемой некоторой дифференциальной системой, определенной в том же фазовом пространстве, что и система (46.1):
где
В этом случае выполняемые при преобразованиях операции не выйдут за пределы операций алгебры Ли операторов вида (46.2), (46.4), что и сулит существенные преимущества, ибо в отличие от нелинейного объекта (46.1) объекты (46.2), (46.4) — линейные. Под преобразованием системы (46.1) при помощи группы, задаваемой системой (46.3) с оператором (46.4), понимается такая замена переменных
в которой функции Такие замены переменных, а также и обратные им, могут быть записаны в виде рядов Ли при помощи оператора (46.4):
При этом в случае обратной замены в выражении для оператора
Формулировка задачи теории возмущений, т. е. цели выполняемых над системой (46.1) преобразований, также может быть сделана в терминах групп. В основу такой формулировки может быть положен один из центральных факторов группового анализа дифференциальных уравнений, который состоит в следующем (см. разд. 38). Если известна какая-нибудь однопараметрическая группа симметрий системы (46.1), оператор которой коммутирует с оператором этой системы А, то последняя может быть понижена в порядке. При постановке задач теории возмущений предположения о наличии известных решений делаются по отношению к невозмущенной части системы Дано: Найти: группу
Если это удается, то система (46.1) может быть понижена в порядке. Скобками обозначена операция вычисления коммутатора, представляющего собой линейный оператор, вычисляемый по правилу (см. разд. 33):
Заметим, что традиционная постановка задачи в методе осреднения вполне соответствует только что сформулированной. Действительно, в методе осреднения вырожденная система автономна, требуется сделать автономной всю систему. Но это и значит, что вырожденная система допускает группу трансляций по Поставленная выше задача может быть решена, в частности, тогда, когда известная группа симметрий порождается фазовым потоком вырожденной системы:
Ей соответствует и стандартная форма оператора А:
Если А — оператор исходной системы,
Решение этой задачи, дающее явную связь между этими операторами, может быть представлено следующим рядом по степеням параметра группы
Если подчинить оператор В условию коммутирования при
где Из формулы (46.7) для введенных операторов следует цепочка соотношений
Рассмотрим первый коммутатор
Поскольку
и оператор
где
Соотношения (46.8) с учетом того, что
Соотношения (46.11) позволяют последовательно определить все приближения для оператора В и все приближения для оператора замены
Тогда
Здесь через и Выбор
что, в свою очередь, позволяет найти
Таким образом, общее выражение для
где
то он получается в следующем виде:
Следовательно, уравнения (46.6) приобретают в переменных
что и представляет собой конечную цель Решения системы (46.13) необходимо подставить в уравнения замены
чтобы получить решение в исходных переменных соответствующей точности. Знание оператора Таким образом, вся процедура сводится к вычислению по формулам (46.10), (46.12) Поскольку в изложенном алгоритме присутствует процедура осреднения, то асимптотические оценки точности этого алгоритма эквивалентны обычным оценкам точности метода осреднения (см. разд. 19). Однако, в конкретных примерах реальная точность алгоритма может быть выше точности, даваемой методом осреднения. Это происходит потому, что в методе осреднения строятся сами преобразования, аналогичные (46.14), в то время как в изложенном алгоритме строятся операторы. Поэтому, если точное выражение оператора удается получить за конечное число шагов, то формулы (46.14) определят и точное выражение для преобразований, представленных, однако, бесконечными рядами. А их конечным числом шагов метода осреднения полечить нельзя. Проиллюстрируем сказанное примером. Пример. Пусть заменой переменных
Оператор этой системы, записанный при помощи новых переменных, имеет вид
Применение изложенной процедуры дает
Второе приближение:
Вычислим коммутаторы:
Следовательно,
Таким образом, второе приближение совпало с первым. Из формулы (46.10) видно, что то же самое получится и для любого приближения. Тем самым задача решена точно. Преобразованные уравнения имеют вид
Связь новых переменных со старыми получается, согласно (46.14), такой:
Ни в каком конечном числе приближений методом усреднения этот результат получить нельзя. Рассмотрим еще один пример. Пример [36]:
В этом уравнении имеет место главный резонанс, периодическое решение раскладывается в ряд по дробным степеням малого параметра Для того чтобы применить квазилинейный подход, введем в написанном уравнении малый масштаб при помощи формулы
Для того чтобы нелинейный и неоднородный члены имели одинаковый порядок влияния на осциллятор, нужно положить Перейдем в этом уравнении к переменным Ван-дер-Поля (канонические координаты в фазовом пространстве
Исходное уравнение при дополнительном условии
Оператор этой системы в новых переменных:
Первое приближение:
Второе приближение. Поскольку
Система второго приближения с разделенными переменными получается в виде
Связь исходных переменных с новыми:
Решив систему (46.15) и подставив решение в (46.16), получим решение задачи в исходных переменных. В частности, если нас интересует, как в [36], только периодическое решение, то, определив из (46.15) стационарную точку:
для переменной
что в точности совпадает с результатом, приведенным в [36].
|
1 |
Оглавление
|