Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
46. Одночастотный метод осреднения на основе формулы ХаусдорфаВ основе излагаемого ниже алгоритма асимптотического интегрирования уравнений механики [26] лежит представление об исходной системе как об одночленной группе Ли преобразований фазового пространства в себя (см. разд. 34). Преобразования системы, приводящие ее к более простому виду, ищутся в классе преобразований, обладающих групповыми свойствами. Такое согласование инструмента анализа с объектом анализа позволяет ограничить используемые в алгоритме операции лишь операциями из соответствующей алгебры операторов. После работы Хори [65], в которой для построения дополнительного первого интеграла в автономной гамильтоновой системе были применены ряды Ли, последовала серия работ, распространяющих этот подход на автономные системы общего вида (Хори, Кемел и др., обзор таких результатов можно найти в [23, 37]). Заметим, что все такие работы представляют собой, по существу, лишь различные формы вывода известной из теории групп Ли формулы Хаусдорфа (см. разд. 38), слегка осложненные идеей отождествления параметров и разделения порядков. Существенно новые результаты здесь могут быть получены при отказе от рассмотрения систем общего вида и при переходе к анализу каких-то более специальных типов систем, характерных для тех или иных областей асимптотической теории, с целью усовершенствования уже имеющихся там процедур. При этом сразу следует исходить из формулы Хаусдорфа, не повторяя в очередной раз ее вывод. Именно такой путь и предпринят в настоящем разделе, где рассматриваются системы в одночастотной стандартной форме (см. разд. 18). Этот вид систем является базовым для асимптотического метода Крылова—Боголюбова (см. разд. 20), который и удается существенно упростить, используя теоретико-групповые принципы. Объективными признаками такого упрощения являются: 1) отсутствие необходимости разрешать относительно старших производных преобразованные на каждом шаге системы, как это делалось в разд. 20, или обращать уравнения замены; 2) в излагаемом ниже алгоритме не используются ряды по степеням малого параметра, изложение процедуры удается провести сразу в терминах искомых асимптотик; 3) выражение для произвольного приближения удается получить в виде явной рекуррентной формулы, удобной при использовании ЭВМ, выполняющих символьные выкладки. Обобщение излагаемого алгоритма на многочастотные системы, существенно нелинейные, и трактовка резонансных случаев даются в следующем разделе. Рассматривается система, описываемая дифференциальными уравнениями следующего вида:
где x — скалярная переменная; у — вектор размерности Присутствие в системе малого параметра позволяет эффективно использовать его для формирования процедур асимптотического построения приближенных решений. При этом наиболее плодотворный подход состоит не в прямом построении решений, а в приведении системы (46.1) к виду, более удобному для анализа, а также и для решения (см. гл. II). Методы такого приведения, будучи достаточно простыми и удобными при построении одного-двух приближений, становятся крайне громоздкими с увеличением числа приближений. Возникает естественная потребность в рационализации соответствующих процедур. Принцип такой рационализации может основываться на идее максимального согласования по групповым признакам инструмента исследования с объектом исследования. Примеры такого согласования в механике имеются: линейные системы естественно преобразовывать линейными заменами; кинематические уравнения Эйлера нелинейны и имеют особенности, однако, если заметить, что повороты твердого тела образуют группу Система (46.1) с произвольными нелинейными правыми частями тем не менее порождает весьма узкий класс отображений фазового пространства в себя — однопараметрическую группу Ли (см. разд. 34) с оператором:
Поэтому и преобразование системы (46.1) следует искать не в классе произвольных нелинейных замен, как это обычно делается, а в виде однопараметрической группы Ли, порождаемой некоторой дифференциальной системой, определенной в том же фазовом пространстве, что и система (46.1):
где
В этом случае выполняемые при преобразованиях операции не выйдут за пределы операций алгебры Ли операторов вида (46.2), (46.4), что и сулит существенные преимущества, ибо в отличие от нелинейного объекта (46.1) объекты (46.2), (46.4) — линейные. Под преобразованием системы (46.1) при помощи группы, задаваемой системой (46.3) с оператором (46.4), понимается такая замена переменных
в которой функции Такие замены переменных, а также и обратные им, могут быть записаны в виде рядов Ли при помощи оператора (46.4):
При этом в случае обратной замены в выражении для оператора
Формулировка задачи теории возмущений, т. е. цели выполняемых над системой (46.1) преобразований, также может быть сделана в терминах групп. В основу такой формулировки может быть положен один из центральных факторов группового анализа дифференциальных уравнений, который состоит в следующем (см. разд. 38). Если известна какая-нибудь однопараметрическая группа симметрий системы (46.1), оператор которой коммутирует с оператором этой системы А, то последняя может быть понижена в порядке. При постановке задач теории возмущений предположения о наличии известных решений делаются по отношению к невозмущенной части системы Дано: Найти: группу
Если это удается, то система (46.1) может быть понижена в порядке. Скобками обозначена операция вычисления коммутатора, представляющего собой линейный оператор, вычисляемый по правилу (см. разд. 33):
Заметим, что традиционная постановка задачи в методе осреднения вполне соответствует только что сформулированной. Действительно, в методе осреднения вырожденная система автономна, требуется сделать автономной всю систему. Но это и значит, что вырожденная система допускает группу трансляций по Поставленная выше задача может быть решена, в частности, тогда, когда известная группа симметрий порождается фазовым потоком вырожденной системы:
Ей соответствует и стандартная форма оператора А:
Если А — оператор исходной системы,
Решение этой задачи, дающее явную связь между этими операторами, может быть представлено следующим рядом по степеням параметра группы
Если подчинить оператор В условию коммутирования при
где Из формулы (46.7) для введенных операторов следует цепочка соотношений
Рассмотрим первый коммутатор
Поскольку
и оператор
где
Соотношения (46.8) с учетом того, что
Соотношения (46.11) позволяют последовательно определить все приближения для оператора В и все приближения для оператора замены
Тогда
Здесь через и Выбор
что, в свою очередь, позволяет найти
Таким образом, общее выражение для
где
то он получается в следующем виде:
Следовательно, уравнения (46.6) приобретают в переменных
что и представляет собой конечную цель Решения системы (46.13) необходимо подставить в уравнения замены
чтобы получить решение в исходных переменных соответствующей точности. Знание оператора Таким образом, вся процедура сводится к вычислению по формулам (46.10), (46.12) Поскольку в изложенном алгоритме присутствует процедура осреднения, то асимптотические оценки точности этого алгоритма эквивалентны обычным оценкам точности метода осреднения (см. разд. 19). Однако, в конкретных примерах реальная точность алгоритма может быть выше точности, даваемой методом осреднения. Это происходит потому, что в методе осреднения строятся сами преобразования, аналогичные (46.14), в то время как в изложенном алгоритме строятся операторы. Поэтому, если точное выражение оператора удается получить за конечное число шагов, то формулы (46.14) определят и точное выражение для преобразований, представленных, однако, бесконечными рядами. А их конечным числом шагов метода осреднения полечить нельзя. Проиллюстрируем сказанное примером. Пример. Пусть заменой переменных
Оператор этой системы, записанный при помощи новых переменных, имеет вид
Применение изложенной процедуры дает
Второе приближение:
Вычислим коммутаторы:
Следовательно,
Таким образом, второе приближение совпало с первым. Из формулы (46.10) видно, что то же самое получится и для любого приближения. Тем самым задача решена точно. Преобразованные уравнения имеют вид
Связь новых переменных со старыми получается, согласно (46.14), такой:
Ни в каком конечном числе приближений методом усреднения этот результат получить нельзя. Рассмотрим еще один пример. Пример [36]:
В этом уравнении имеет место главный резонанс, периодическое решение раскладывается в ряд по дробным степеням малого параметра Для того чтобы применить квазилинейный подход, введем в написанном уравнении малый масштаб при помощи формулы
Для того чтобы нелинейный и неоднородный члены имели одинаковый порядок влияния на осциллятор, нужно положить Перейдем в этом уравнении к переменным Ван-дер-Поля (канонические координаты в фазовом пространстве
Исходное уравнение при дополнительном условии
Оператор этой системы в новых переменных:
Первое приближение:
Второе приближение. Поскольку
Система второго приближения с разделенными переменными получается в виде
Связь исходных переменных с новыми:
Решив систему (46.15) и подставив решение в (46.16), получим решение задачи в исходных переменных. В частности, если нас интересует, как в [36], только периодическое решение, то, определив из (46.15) стационарную точку:
для переменной
что в точности совпадает с результатом, приведенным в [36].
|
1 |
Оглавление
|