46. Одночастотный метод осреднения на основе формулы Хаусдорфа

В основе излагаемого ниже алгоритма асимптотического интегрирования уравнений механики [26] лежит представление об исходной системе как об одночленной группе Ли преобразований фазового пространства в себя (см. разд. 34). Преобразования системы, приводящие ее к более простому виду, ищутся в классе преобразований, обладающих групповыми свойствами. Такое согласование инструмента анализа с объектом анализа позволяет ограничить используемые в алгоритме операции лишь операциями из соответствующей алгебры операторов. После работы Хори [65], в которой для построения дополнительного первого интеграла в автономной гамильтоновой системе были применены ряды Ли, последовала серия работ, распространяющих этот подход на автономные системы общего вида (Хори, Кемел и др., обзор таких результатов можно найти в [23, 37]). Заметим, что все такие работы представляют собой, по существу, лишь различные формы вывода известной из теории групп Ли формулы Хаусдорфа (см. разд. 38), слегка осложненные идеей отождествления параметров и разделения порядков. Существенно новые результаты здесь могут быть получены при отказе от рассмотрения систем общего вида и при переходе к анализу каких-то более специальных типов систем, характерных для тех или иных областей асимптотической теории, с целью усовершенствования уже имеющихся там процедур. При этом сразу следует исходить из формулы Хаусдорфа, не повторяя в очередной раз ее вывод. Именно такой путь и предпринят в настоящем разделе, где рассматриваются системы в одночастотной стандартной форме (см. разд. 18). Этот вид систем является базовым для асимптотического метода Крылова—Боголюбова (см. разд. 20), который и удается существенно упростить, используя теоретико-групповые принципы. Объективными признаками такого упрощения являются: 1) отсутствие необходимости разрешать относительно старших производных преобразованные на каждом шаге системы, как это делалось в разд. 20, или обращать уравнения замены; 2) в излагаемом ниже алгоритме не используются ряды по степеням малого параметра, изложение процедуры удается провести сразу в терминах искомых асимптотик; 3) выражение для произвольного приближения удается получить в виде явной рекуррентной формулы, удобной при использовании ЭВМ, выполняющих символьные выкладки. Обобщение излагаемого алгоритма на многочастотные системы, существенно нелинейные, и трактовка резонансных случаев даются в следующем разделе.

Рассматривается система, описываемая дифференциальными уравнениями следующего вида:

где x — скалярная переменная; у — вектор размерности — малый параметр; правые части аналитичны в некоторой области.

Присутствие в системе малого параметра позволяет эффективно использовать его для формирования процедур асимптотического построения приближенных решений. При этом наиболее плодотворный подход состоит не в прямом построении решений, а в приведении системы (46.1) к виду, более удобному для анализа, а также и для решения (см. гл. II).

Методы такого приведения, будучи достаточно простыми и удобными при построении одного-двух приближений, становятся крайне громоздкими с увеличением числа приближений. Возникает естественная потребность в рационализации соответствующих процедур. Принцип такой рационализации может основываться на идее максимального согласования по групповым признакам инструмента исследования с объектом исследования. Примеры такого согласования в механике имеются: линейные системы естественно преобразовывать линейными заменами; кинематические уравнения Эйлера нелинейны и имеют особенности, однако, если заметить, что повороты твердого тела образуют группу то в групповых переменных уравнения получаются линейными, без особенностей. При этом минимальная по размерности линейная система получается при записи уравнений в кватернионах, а если и при решении уравнений пользоваться лишь кватернионами, то выполняемые операции не выходят за пределы операций алгебры кватернионов и приводят к максимально простым и экономным алгоритмам.

Система (46.1) с произвольными нелинейными правыми частями тем не менее порождает весьма узкий класс отображений фазового пространства в себя — однопараметрическую группу Ли (см. разд. 34) с оператором:

Поэтому и преобразование системы (46.1) следует искать не в классе произвольных нелинейных замен, как это обычно делается, а в виде однопараметрической группы Ли, порождаемой некоторой дифференциальной системой, определенной в том же фазовом пространстве, что и система (46.1):

где — параметр группы, а ее оператор имеет вид

В этом случае выполняемые при преобразованиях операции не выйдут за пределы операций алгебры Ли операторов вида (46.2), (46.4), что и сулит существенные преимущества, ибо в отличие от нелинейного объекта (46.1) объекты (46.2), (46.4) — линейные.

Под преобразованием системы (46.1) при помощи группы, задаваемой системой (46.3) с оператором (46.4), понимается такая замена переменных

в которой функции тождественно удовлетворяют уравнениям (46.3), причем (см. гл. III).

Такие замены переменных, а также и обратные им, могут быть записаны в виде рядов Ли при помощи оператора (46.4):

При этом в случае обратной замены в выражении для оператора (формула (46.4)) вместо переменных х, у следует формально писать переменные

Формулировка задачи теории возмущений, т. е. цели выполняемых над системой (46.1) преобразований, также может быть сделана в терминах групп. В основу такой формулировки может быть положен один из центральных факторов группового анализа дифференциальных уравнений, который состоит в следующем (см. разд. 38). Если известна какая-нибудь однопараметрическая группа симметрий системы (46.1), оператор которой коммутирует с оператором этой системы А, то последняя может быть понижена в порядке. При постановке задач теории возмущений предположения о наличии известных решений делаются по отношению к невозмущенной части системы По аналогии и будем предполагать, что группа симметрий известна для вырожденной системы (46.1). Постановка задачи теории возмущений приобретает следующий вид.

Дано: группа симметрий (46.1) при — оператор группы):

Найти: группу преобразований системы (46.1), переводящую оператор А в оператор 5, так, чтобы данная группа была группой симметрий системы (46.1) при

Если это удается, то система (46.1) может быть понижена в порядке.

Скобками обозначена операция вычисления коммутатора, представляющего собой линейный оператор, вычисляемый по правилу (см. разд. 33):

Заметим, что традиционная постановка задачи в методе осреднения вполне соответствует только что сформулированной. Действительно, в методе осреднения вырожденная система автономна, требуется сделать автономной всю систему. Но это и значит, что вырожденная система допускает группу трансляций по и требуется так преобразовать возмущенную систему, чтобы она допускала эту же группу.

Поставленная выше задача может быть решена, в частности, тогда, когда известная группа симметрий порождается фазовым потоком вырожденной системы: т. е. когда известно общее решение системы при Построим алгоритм асимптотического решения задачи возмущений в этом случае. Тогда без ограничения общности можно считать, что система (46.1) записана в канонических координатах (см. разд. 37) группы , сдедовательно, имеет вид известной стандартной формы:

Ей соответствует и стандартная форма оператора А:

Если А — оператор исходной системы, — оператор замены переменных и — оператор преобразованной системы, то известно, что эти три оператора связаны начальной задачей Коши для уравнения Хаусдорфа (см. разд. 38):

Решение этой задачи, дающее явную связь между этими операторами, может быть представлено следующим рядом по степеням параметра группы

Если подчинить оператор В условию коммутирования при с (напомним, что и условие коммутирования сводится к независимости В от ), то получим уравнение для нахождения оператора Решать такое уравнение будем асимптотически, для чего введем обозначения

где операторы, отличающиеся от точных операторов величинами более высокого порядка малости, чем

Из формулы (46.7) для введенных операторов следует цепочка соотношений

Рассмотрим первый коммутатор

Поскольку то, не выходя за рамки рассматриваемой асимптотики, вместо (46.9) можно написать

и оператор запишется так:

где — оператор, зависящий только от младших по отношению к асимптотик оператора

Соотношения (46.8) с учетом того, что могут быть переписаны в виде

Соотношения (46.11) позволяют последовательно определить все приближения для оператора В и все приближения для оператора замены Действительно, для построения первого приближения достаточно выбрать так:

Тогда найдется квадратурой:

Здесь через и обозначены соответственно среднее по значение оператора (при условии, что оно существует) и дополнение к среднему.

Выбор в виде среднего от диктуется, с одной стороны, требованием независимости В от с другой стороны, требованием ограниченности по уравнений замены. После того как найдено можно приступить к построению второго приближения:

что, в свою очередь, позволяет найти

Таким образом, общее выражение для приближения получается в виде

где выражено через предыдущие приближения явной, конечной формулой (46.10). Если нормальная форма сходится, то точное выражение для оператора преобразованной системы есть Так как по построению, не зависит от и так как

то он получается в следующем виде:

Следовательно, уравнения (46.6) приобретают в переменных вид

что и представляет собой конечную цель приближения метода осреднения.

Решения системы (46.13) необходимо подставить в уравнения замены

чтобы получить решение в исходных переменных соответствующей точности. Знание оператора необходимо для построения к приближения, т. е.

Таким образом, вся процедура сводится к вычислению по формулам (46.10), (46.12) . Выражение для определяет правые части системы (46.13), а ту замену исходных переменных в которых заданная система (46.6). принимает вид, не зависящий от

Поскольку в изложенном алгоритме присутствует процедура осреднения, то асимптотические оценки точности этого алгоритма эквивалентны обычным оценкам точности метода осреднения (см. разд. 19). Однако, в конкретных примерах реальная точность алгоритма может быть выше точности, даваемой методом осреднения. Это происходит потому, что в методе осреднения строятся сами преобразования, аналогичные (46.14), в то время как в изложенном алгоритме строятся операторы. Поэтому, если точное выражение оператора удается получить за конечное число шагов, то формулы (46.14) определят и точное выражение для преобразований, представленных, однако, бесконечными рядами. А их конечным числом шагов метода осреднения полечить нельзя. Проиллюстрируем сказанное примером.

Пример. Пусть заменой переменных требуется привести к виду, в котором была бы исключена зависимость правых частей от следующую систему:

Оператор этой системы, записанный при помощи новых переменных, имеет вид

Применение изложенной процедуры дает

Второе приближение:

Вычислим коммутаторы:

Следовательно,

Таким образом, второе приближение совпало с первым. Из формулы (46.10) видно, что то же самое получится и для любого приближения. Тем самым задача решена точно.

Преобразованные уравнения имеют вид

Связь новых переменных со старыми получается, согласно (46.14), такой:

Ни в каком конечном числе приближений методом усреднения этот результат получить нельзя.

Рассмотрим еще один пример.

Пример [36]:

В этом уравнении имеет место главный резонанс, периодическое решение раскладывается в ряд по дробным степеням малого параметра в связи с чем в [36] утверждается, что такие решения не могут быть получены при помощи теории квазилинейных систем. Покажем, что это не так. Появление дробных степеней связано лишь с выбором масштаба измерения переменных и никак существом асимптотической процедуры построения решений не определяется.

Для того чтобы применить квазилинейный подход, введем в написанном уравнении малый масштаб при помощи формулы — малый параметр). Уравнение перепишется в виде квазилинейного уравнения

Для того чтобы нелинейный и неоднородный члены имели одинаковый порядок влияния на осциллятор, нужно положить

Перейдем в этом уравнении к переменным Ван-дер-Поля (канонические координаты в фазовом пространстве группы винтов, порождаемой фазовым потоком вырожденной системы):

Исходное уравнение при дополнительном условии перепишется в виде системы в стандартной форме:

Оператор этой системы в новых переменных:

Первое приближение:

Второе приближение. Поскольку то для получим:

Система второго приближения с разделенными переменными получается в виде

Связь исходных переменных с новыми:

Решив систему (46.15) и подставив решение в (46.16), получим решение задачи в исходных переменных. В частности, если нас интересует, как в [36], только периодическое решение, то, определив из (46.15) стационарную точку:

для переменной получим:

что в точности совпадает с результатом, приведенным в [36].