Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава пятая. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ В ЗАДАЧАХ ТЕХНИКИ51. Существенно нелинейные вынужденные колебания гироскопа в кардановом подвесеРассматривается движение уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе, установленного на неподвижном основании (рис. 41). Предполагается, что по оси внутреннего кольца действует малый периодический момент и малый момент сил вязкого трения. Свяжем с внешним кольцом трехгранник Обозначим моменты инерции внешнего кольца относительно оси
Уравнения движения с учетом возмущающего момента с амплитудой
Здесь положительный параметр 8 считается малым, точка над буквой означает дифференцирование по времени. Из первого уравнения (51.2) следует
Для дальнейшего исследования удобно ввести безразмерное время
Рис. 41
Рис. 42 Здесь
Штрих при
Таким образом, задача сводится к исследованию вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы, близкой к консервативной. Используя метод осреднения (разд. 24), найдем порождающее решение, т. е. решение уравнения (51.6) при
где а — постоянная интегрирования, которую будем считать положительной. Решение уравнения (51.7) выражается в общем случае через гиперэллиптический интеграл. Наглядное представление о характере всех возможных порождающих решений можно получить при
Рис. 43
Рис. 44 помощи графика функции На рис. 43 в плоскости параметров с, I указаны пять областей, которым соответствуют существенно различные графики функций Графики функции Графики Из приведенных графиков следует, что в областях 1 и 2 имеется два устойчивых положения равновесия в точках В области 3 имеется два устойчивых положения равновесия в точках Углы В каждой из областей гироскоп может совершать колебания по углу Р около устойчивых положений равновесия. Кроме того, при достаточно больших значениях постоянной энергии а и при В области 1 колебания первого типа имеют место при выполнении неравенств
а колебания второго типа — при выполнении неравенств
Амплитуда колебаний второго типа в областях 7, 3 и 4 может быть сколь угодно близка к В качестве порождающего решения будут рассматриваться колебания первого типа около положения равновесия
Рис. 45 Здесь величины
В случае колебаний второго типа при Амплитуда колебаний Когда приведенная амплитуда а приближается к значению
период
Считая величину а достаточно малой, найдем отсюда два первых члена разложения
Оказывается, что соответствуют такие значения параметров При колебаниях гироскопа по углу Р угловая скорость а внешнего кольца будет тоже периодической функцией времени. Ее среднее за период значение
Используя замену (51.11) и разложение (51.13), найдем два первых члена разложения
Второе слагаемое в квадратных скобках дает поправку к известной формуле Магнуса для средней скорости ухода уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе. Можно показать, что в области 1 выполняется неравенство Для применения метода осреднения удобно ввести в рассмотрение угловую переменную
Здесь
В случае а
Рис. 46
Рис. 47 Время одного оборота, частота вращения и средняя скорость ухода определяются соответственно формулами
Зависимость средней скорости ухода от а для колебаний первого, второго типа и вращений представлена при
Пунктирная кривая на рис. 47 соответствует приближенному значению средней скорости ухода, вычисляемому по (51.15) без учета второго слагаемого в квадратных скобках (формула Магнуса). При вращательном движении угловую переменную
Здесь функция
Кроме того, существует обратная функция
Переходим к решению уравнения (51.6) при
Дифференцируя выражения (51.24) по
Преобразуем второе уравнение полученной системы. Из тождества
поэтому уравнения (51.25) примут вид
Правая часть первого из уравнений (51.27) мала, поэтому переменная а изменяется медленно. Как и при
и удовлетворяют уравнениям
получаемым аналогично (51.27) с использованием (51.18), (51.21) и (51.23). В дальнейшем будем рассматривать вынужденные колебания или вращение, частота которых близка к
Тогда уравнения (51.27) и (51.29) запишутся соответственно в виде
Будем предполагать разность
Здесь в случае колебаний
в случае вращения
Можно показать, что в случае колебаний II типа и при Система осредненных уравнений (51.33) автономна, ее положению равновесия
соответствуют стационарные колебания или вращение гироскопа по углу
Отметим, что возможны лишь такие значения
При значениях а, для которых множитель при Внешние резонансные кривые на рис. 48—50 соответствуют
и что Пересечение резонансных кривых со скелетной кривой происходит при значениях а, когда в (51.38) имеет место знак равенства или когда Из (15.37) следует, что при построении резонансных кривых вместо трех параметров Значение
Рис. 48
Рис. 49
Рис. 50 На интервалах 1,25 для колебаний второго типа и На рис. 48 на интервале Из найденных выше стационарных вынужденных колебаний и вращательных движений следует выделить устойчивые стационарные режимы. Полагая в уравнениях (51.33)
составим линейные относительно
Дифференцированием (51.34) и (51.35) по а, (51.36) по а получаются следующие вспомогательные равенства:
в силу которых характеристическое уравнение системы (51.41) запишется в виде
где вследствие (51.36)
(порядок знаков здесь соответствует порядку знаков в (51.37)). Из уравнения (51.42) следует, что при
Если
В критическом случае, когда
В данном случае положение равновесия
Производя в (51.46) замену (51.40) и оставив лишь члены второго порядка малости относительно
Положение равновесия
поэтому выражение для коэффициента
а условие устойчивости В случае главного резонанса остается справедливым условие устойчивости (51.45). Участки резонансных кривых, для которых это условие выполняется, выделены на рис. 48—50 жирными линиями. В частности, из двух стационарных вращательных движений гироскопа (при фиксированном значении всех параметров) одно будет устойчивым (см. рис. 50).
|
1 |
Оглавление
|