Глава пятая. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ В ЗАДАЧАХ ТЕХНИКИ

51. Существенно нелинейные вынужденные колебания гироскопа в кардановом подвесе

Рассматривается движение уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе, установленного на неподвижном основании (рис. 41). Предполагается, что по оси внутреннего кольца действует малый периодический момент и малый момент сил вязкого трения.

Свяжем с внешним кольцом трехгранник с внутренним — Оххухгх. Направим ось по оси вращения внешнего кольца, ось — по оси вращения внутреннего кольца, ось по оси собственного вращения ротора. Положение этих систем координат и ротора относительно неподвижного трехгранника определяется углами (рис. 42), где у — угол поворота ротора относительно внутреннего кольца.

Обозначим моменты инерции внешнего кольца относительно оси через моменты инерции внутреннего кольца относительно осей — через экваториальный и полярный моменты инерции ротора — через А и С. Удвоенная кинетическая энергия системы гироскоп и кардановы кольца записывается в форме

Уравнения движения с учетом возмущающего момента с амплитудой и частотой действующего на внутреннее кольцо, и малого момента вязкого трения с коэффициентом трения имеют вид

Здесь положительный параметр 8 считается малым, точка над буквой означает дифференцирование по времени.

Из первого уравнения (51.2) следует

Для дальнейшего исследования удобно ввести безразмерное время

Рис. 41

Рис. 42

Здесь — круговая частота малых нутационных колебаний. Тогда уравнение и второе уравнение (51.2) примут вид

Штрих при здесь и далее означает производную по безразмерному времени . Исключая а из уравнения (51.5), придем к уравнению для угла

Таким образом, задача сводится к исследованию вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы, близкой к консервативной.

Используя метод осреднения (разд. 24), найдем порождающее решение, т. е. решение уравнения (51.6) при Интеграл энергии соответствующей консервативной системы имеет вид

где а — постоянная интегрирования, которую будем считать положительной.

Решение уравнения (51.7) выражается в общем случае через гиперэллиптический интеграл. Наглядное представление о характере всех возможных порождающих решений можно получить при

Рис. 43

Рис. 44

помощи графика функции содержащей два параметра с и I. Вид графика зависящий от значений этих параметров, можно найти после несложного, но довольно громоздкого анализа, который здесь опущен, а результаты приведены на рис. 43, 44.

На рис. 43 в плоскости параметров с, I указаны пять областей, которым соответствуют существенно различные графики функций Эти области симметричны относительно прямой (поэтому на рис. 43 области 1—5 построены только для расположены слева от прямой так как значения параметра с должны удовлетворять условию и отделены друг от друга прямыми и гиперболами

Графики функции соответствующие областям 1—5 и случаю показаны на рис. 44. В силу периодичности и симметрии графиков относительно прямых на рис. 44 графики построены при

Графики при получаются из построенных зеркальным отражением относительно оси ординат, так как при замене I на — I и на —Р функция не меняется. При график функции соответствующий области 1, симметричен относительно оси ординат.

Из приведенных графиков следует, что в областях 1 и 2 имеется два устойчивых положения равновесия в точках При или для угловой скорости внешнего кольца имеем а т. е. ось гироскопа неподвижна.

В области 3 имеется два устойчивых положения равновесия в точках однако при или угловая скорость внешнего кольца сохраняет постоянное ненулевое значение: а Таким образом, гироскоп совершает устойчивую относительно угла Р регулярную прецессию. В областях 2 и 5 неустойчивым положениям равновесия соответствует неустойчивая регулярная прецессия.

Углы тоже являются положениями равновесия, причем в области 5 они оба устойчивы, а в областях 2 и 4 устойчиво одно из них. При внешнее кольцо может вращаться с любой постоянной угловой скоростью.

В каждой из областей гироскоп может совершать колебания по углу Р около устойчивых положений равновесия. Кроме того, при достаточно больших значениях постоянной энергии а и при гироскоп может совершать колебания по Р в пределах, симметричных относительно .

В области 1 колебания первого типа имеют место при выполнении неравенств

а колебания второго типа — при выполнении неравенств

Амплитуда колебаний второго типа в областях 7, 3 и 4 может быть сколь угодно близка к

В качестве порождающего решения будут рассматриваться колебания первого типа около положения равновесия колебания второго типа и вращательное движение по углу Р (последнее имеет место при Период и амплитуда колебаний определяются формулами Р.

Рис. 45

Здесь величины являются корнями уравнения и для колебаний первого типа

В случае колебаний второго типа при выражение (51.11) для остается справедливым, а .

Амплитуда колебаний при возрастании а тоже возрастает, причем Поэтому в дальнейшем будем называть величину а приведенной амплитудой или просто амплитудой, а — реальной амплитудой по углу Зависимость реальной амплитуды от приведенной при изображена на рис. 45.

Когда приведенная амплитуда а приближается к значению которому соответствует положение равновесия, период колебаний бесконечно возрастает. Чтобы выяснить характер изменения в области малых амплитуд, выразим с помощью замены

период через собственный интеграл:

Считая величину а достаточно малой, найдем отсюда два первых члена разложения в ряд по степеням

Оказывается, что в области 2, в области 1 коэффициент может быть как положительным, так и отрицательным. Часть кривой , лежащая в области 1, указана на рис. 43 пунктиром. Справа от кривой выполняется неравенство этой части области 1 (на рис. 43 отмечена двойной штриховкой)

соответствуют такие значения параметров при которых период на интервале будет вначале убывать, затем возрастать. Соответственно частота колебаний с ростом амплитуды вначале возрастает и, достигнув наибольшего значения, убывает.

При колебаниях гироскопа по углу Р угловая скорость а внешнего кольца будет тоже периодической функцией времени. Ее среднее за период значение определяется из (51.5) и (51.7):

Используя замену (51.11) и разложение (51.13), найдем два первых члена разложения в ряд по степеням

Второе слагаемое в квадратных скобках дает поправку к известной формуле Магнуса для средней скорости ухода уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе. Можно показать, что в области 1 выполняется неравенство поэтому формула Магнуса определяет с недостатком приближенное значение средней скорости ухода гироскопа. Часть области 2, где отмечена двойной штриховкой на рис. 46.

Для применения метода осреднения удобно ввести в рассмотрение угловую переменную которая является бесконечнозначной функцией угла:

Здесь — круговая частота колебаний. Обратная зависимость является четной по и периодической с периодом причем

В случае а когда порождающее решение соответствует вращательному движению внутреннего карданова кольца, вместо угла Р введем угол нутации Тогда уравнение (51.6) и интеграл энергии (51.7) примут вид

Рис. 46

Рис. 47

Время одного оборота, частота вращения и средняя скорость ухода определяются соответственно формулами

Зависимость средней скорости ухода от а для колебаний первого, второго типа и вращений представлена при на рис. 47. При колебаниях второго типа существует такое значение а, для которого средняя скорость ухода гироскопа равна нулю. Если а то, как следует из (51.19), средняя скорость ухода стремится к конечному значению

Пунктирная кривая на рис. 47 соответствует приближенному значению средней скорости ухода, вычисляемому по (51.15) без учета второго слагаемого в квадратных скобках (формула Магнуса).

При вращательном движении угловую переменную определим равенством

Здесь функция по аргументу 0 будет монотонно возрастающей и нечетной, причем . Поэтому функцию можно представить в виде

Кроме того, существует обратная функция

Переходим к решению уравнения (51.6) при Заменим это уравнение системой двух уравнений первого порядка относительно новых неизвестных причем переход к новым переменным производится по формулам

Дифференцируя выражения (51.24) по и используя (51.6) и (51.17), получим эквивалентную исходным уравнениям (51.6) систему уравнений

Преобразуем второе уравнение полученной системы. Из тождества и (51.16), (51.26) следует, что

поэтому уравнения (51.25) примут вид

Правая часть первого из уравнений (51.27) мала, поэтому переменная а изменяется медленно. Как и при будем называть эту переменную амплитудой. Уравнения (51.27) справедливы, если порождающее решение — колебания I или II типа, т. е. амплитуда а удовлетворяет условию (51.8) или (51.9). Если порождающее решение — вращательное, то переменные а и вводятся соотношениями

и удовлетворяют уравнениям

получаемым аналогично (51.27) с использованием (51.18), (51.21) и (51.23).

В дальнейшем будем рассматривать вынужденные колебания или вращение, частота которых близка к Введем вместо угловых переменных сдвиги фаз по формулам

Тогда уравнения (51.27) и (51.29) запишутся соответственно в виде

Будем предполагать разность — малой величиной порядка тогда не только амплитуда а, но и сдвиги фаз медленно меняются и уравнения (51.31), (51.32), правые части которых имеют период по или равный можно заменить приближенными уравнениями. Учитывая четность по нечетность по нечетность по 0 и по усредненные уравнения можно привести к одинаковой форме и для случая колебаний и для случая вращения. Если при колебаниях и при вращении, то осредненные уравнения имеют вид

Здесь в случае колебаний

в случае вращения

Можно показать, что в случае колебаний II типа и при для резонансных функций справедливо тождество , т. е. в этом случае кроме главного резонанса могут быть высшие резонансы лишь нечетных порядков.

Система осредненных уравнений (51.33) автономна, ее положению равновесия определяемому из уравнений

соответствуют стационарные колебания или вращение гироскопа по углу с частотой по равной Исключив из (51.36) 0, придем к зависимости между частотой внешней возмущающей силы и стационарной амплитудой (энергией) :

Отметим, что возможны лишь такие значения для которых

При значениях а, для которых множитель при в (51.37) остается ограниченным, резонансные кривые, определяемые соотношением (51.37), близки к графику функции который называют скелетной кривой. На рис. 48—50, где изображены резонансные кривые для случая главного резонанса, когда скелетная кривая проведена пунктирной линией. Вид скелетной кривой на интервале на рис. 48 и 49 различен в связи с тем, что рис. 48 соответствуют значения параметров при которых коэффициент кг в (51.13) положителен, а рис. 49 соответствуют значения при которых (соответствующая точка на рис. 43 находится в области с двойной штриховкой).

Внешние резонансные кривые на рис. 48—50 соответствуют когда трение отсутствует, и условие (51.38) выполняется для любых значений а Вид резонансных кривых определяется свойствами функций Используя (51.34), можно показать, что

и что при Следовательно, как в области малых амплитуд, так и вблизи критических значений резонансные кривые удаляются от скелетной кривой.

Пересечение резонансных кривых со скелетной кривой происходит при значениях а, когда в (51.38) имеет место знак равенства или когда

Из (15.37) следует, что при построении резонансных кривых вместо трех параметров и 1 можно рассматривать произведение и отношение Резонансные кривые на рис. 48 и 49 были построены при (для колебаний первого типа) и (для колебаний второго типа). На рис. 50 резонансные кривые построены для вращательных движений при

Значение для внутренних резонансных кривых выбиралось в соответствии со значениями отношения На интервале это отношение возрастает от 0 до поэтому вынужденные стационарные колебания первого типа существуют при любых значениях На рис. 48 и 49 принято

Рис. 48

Рис. 49

Рис. 50

На интервалах отношение достигает наименьших значений. Поэтому в силу (51.38) вынужденные стационарные колебания второго типа и вращательные движения могут существовать, если не превосходит некоторых максимальных значений. Так, при должно быть

1,25 для колебаний второго типа и для вращательных движений.

На рис. 48 на интервале резонансные кривые построены при . На рис. 50 резонансные кривые построены при

Из найденных выше стационарных вынужденных колебаний и вращательных движений следует выделить устойчивые стационарные режимы.

Полагая в уравнениях (51.33)

составим линейные относительно уравнения первого приближения

Дифференцированием (51.34) и (51.35) по а, (51.36) по а получаются следующие вспомогательные равенства:

в силу которых характеристическое уравнение системы (51.41) запишется в виде

где вследствие (51.36)

(порядок знаков здесь соответствует порядку знаков в (51.37)).

Из уравнения (51.42) следует, что при устойчивыми будут те стационарные режимы, для которых

Если то, как следует из (51.34) и (51.35), функция принимает только положительные значения, поэтому в случае главного резонанса условие устойчивости имеет вид

В критическом случае, когда для выделения устойчивых стационарных режимов следует использовать исходные осредненные уравнения (51.33), которые при имеют первый интеграл

В данном случае положение равновесия определяется соотношениями

Производя в (51.46) замену (51.40) и оставив лишь члены второго порядка малости относительно получим

Положение равновесия будет устойчиво, если . Из равенства (51.47) нетрудно найти, что

поэтому выражение для коэффициента упрощается:

а условие устойчивости при оказывается совпадающим с условием (51.44) устойчивости при

В случае главного резонанса остается справедливым условие устойчивости (51.45). Участки резонансных кривых, для которых это условие выполняется, выделены на рис. 48—50 жирными линиями. В частности, из двух стационарных вращательных движений гироскопа (при фиксированном значении всех параметров) одно будет устойчивым (см. рис. 50).