23. Квазилинейные системы

Будем понимать под окрестностью резонанса случай, когда соотношения (22.10) или (22.12) имеют порядок

где — прямоугольная матрица коэффициентов (22.12).

Малая векторная величина называется расстройкой. В произведении (23.1) со понимается как матрица-столбец. Без ограничения общности можно считать ранг матрицы Л равным и

представить ее в блочной форме:

— квадратная невырожденная матрица, содержащая последние столбцов матрицы , а дополняет матрицу до . Переменные разобьем на две группы . где . В соответствии с этим Перед тем, как произвести осреднение в системе (22.2), необходимо выполнить преобразование быстрых переменных (или, что то же самое,

В соответствии с введенными обозначениями (23.2) можно переписать в виде , откуда в силу невырожденности . В новых переменных (22.2) принимает вид

В системе (23.3) переменные оказываются медленными, так как — малая величина порядка . Тем самым число медленных пере менных увеличивается на кратность резонанса число быстрых переменных уменьшается на . В форме (23.3) имеющийся резонанс исключен, и можно произвести осреднение по оставшимся быстрым переменным по формулам (22.8) с обычными гарантиями точности. Исследование резонансного случая приводит всегда к осредненным системам более высокой размерности.

Итак, для квазилинейных многочастотных систем построена процедура осреднения в резонансном и нерезонансном случаях. Построение высших приближений в обоих случаях производится аналогично одночастотному случаю. Следует заметить, что с увеличением порядка приближения обычно увеличивается и число различных резонансов. Так, в рассмотренном примере уравнения Матье в первом приближении обнаружился один резонанс Матрица в этом примере имеет вид Резонансный случай определяется условием

Замена переменных (23.2) запишется в форме

После чего уравнения (23.3) для системы (22.11) приобретают вид

Осреднение этих уравнений по быстрой переменной позволяет получить уравнения для медленных переменных в виде

На границе области устойчивости уравнение Матье имеет периодическое решение, что соответствует стационарному режиму написанных уравнений:

Откуда следует, что это возможно, если . Или, используя обозначение с точностью до получаем, что Это и есть первое приближение для границ первой зоны неустойчивости уравнения Матье. Рассмотрим теперь, как строится второе приближение для уравнений (22.11). Для этого в соответствии с общей процедурой следует в уравнениях (22.11) выполнить замену переменных уничтожающую в этих уравнениях переменных члены первого порядка малости

Функции подлежат определению. Подставляя эту замену в (22.11), находим

Поскольку то условие уничтожения переменных членов первого порядка малости (т. е. зависящих от быстрых фаз ) сводится к следующим уравнениям для А и В:

Отличие от одночастотного случая состоит лишь в том, что вместо одного уравнения в частных производных первого порядка для нахождения преобразующей функции (20.5) получается система уравнений в частных производных первого порядка с числом независимых переменных, соответствующих числу быстрых фаз. Общий метод решения таких уравнений изложен в разд. 36, Например, для нахождения А следует найти интеграл обыкновенных дифференциальных уравнений вида

Имеем

Из уравнения, связывающего находим

откуда

Указанное преобразование возможно, если . Поскольку сейчас мы рассматриваем вторую зону неустойчивости (первая изучена в первом приближении), то и это условие выполнено. Если бы мы хотели строить второе приближение для первой зоны, то следовало преобразовывать не уравнения (22.11), а уравнения (23.4).

В результате указанной замены система уравнений (22.11) приводится к виду

где переменная часть уже имеет порядок Временное среднее (22.9), вычисленное для этой системы, обнаруживает разрыв в точке Это и есть резонансное условие, определяющее вторую зону неустойчивости. Для нахождения ее границ необходимо рассмотреть окрестность этого резонанса Матрица А в этом случае имеет вид Замена переменных (23.2) такова: После этой замены подготовленные к осреднению уравнения имеют следующий вид:

После осреднения по получаем уравнения для медленных переменных

Как и раньше на границе области устойчивости эта система должна иметь нетривиальное стационарное решение

откуда

Заменяя с точностью до величин порядка находим что

Это известное выражение для границ второй зоны неустойчивости уравнения Матье.