Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 33. Инфинитезимальный оператор группы. Алгебра ЛиПредположим вначале, что а — скалярный параметр. Заменой параметра а
Выписанная линейная часть по Пусть в плоскости х, у задана некоторая функция группы:
Линейная часть по
где
который и называется инфинитезимальньш оператором группы. Если группа многопараметрическая, то у нее столько операторов, сколько независимых параметров. Пусть, например, в группе с двумя параметрами
и два инфинитезимальных оператора имеют вид
Выражения для инфинитезимальных операторов приведенных выше примеров групп Ли. A. Группа трансляций:
B. Группа растяжений: Группа подобия: Группа вращений: Группа линейных преобразований:
Группа линейных преобразований с равным единице детерминантом получится из выражения для общей линейной группы
введением условия на детерминант
Точками обозначены члены более высокого порядка малости. Откуда соответствуют операторы
E. Группа движений:
F. Аффинная группа:
G. Проективная группа:
H. Группа, сохраняющая площадь. Условие сохранения площади имеет вид
т. е.
Откуда
I. Группа Лоренца:
Пусть
Если все
В противном случае операторы называются линейно зависимыми. Числа Линейная независимость операторов (33.2) позволяет взять их в качестве базиса линейного пространства операторов, связанного с рассматриваемой группой. Любой элемент этого пространства есть оператор вида
где
Это означает, что действие оператора
Такое определение требует проверки нескольких фактов. Во-первых, будет ли оператор
а оператор V вид
то оператор
где коэффициенты
Во-вторых, будет ли оператор Если заданы
В силу того что введенное произведение очевидно обладает свойством дистрибутивности по сложению, т. е.
то
Константы В-третьих, важно знать, является ли введенное произведение корректным в следующем смысле. Говоря о преобразовании плоскости (или какой-то ее области), мы выражаем это преобразование с помощью координат х, у. Если плоскость отнести к другим координатам — и, у, то те же преобразования будут иметь иной вид. Иной вид будут иметь и операторы (правило преобразования оператора при замене переменных будет приведено в разд. 37). Зависит ли операция произведения операторов (33.5) от того, в каких переменных она вычисляется? Другими словами, будет ли все равно, если вначале заменить в операторах переменные, а потом взять их произведение, или поступить наоборот. Несложная выкладка показывает, что будет все равно. Введенное произведение не зависит от выбора системы переменных. Получившийся объект: линейное пространство операторов группы (33.3) с введенной в этом пространстве операцией умножения называется алгеброй Ли. Алгебра Ли порождается группой Ли. Верно и обратное: если даны какие-то Операция взятия произведения (33.4), играющая исключительно важную роль в дальнейшем, называется скобкой Пуассона, или коммутатором, или производным оператором. Она удовлетворяет так называемому тождеству Якоби
и обладает свойством косой симметрии
что очевидно из определения (33.4). Абстрактное определение алгебры Ли не связано ни с группами, ни с операторами и определяется посредством введения в линейном пространстве операции умножения, кососимметрической и удовлетворяющей тождеству Якоби. Пример: трехмерное векторное пространство с операцией векторного произведения есть алгебра Ли. Пример. Линейная группа с равным единице определителем. Операторы
образуют базис трехмерной алгебры Ли со следующим правилом перемножения операторов базиса:
|
1 |
Оглавление
|