33. Инфинитезимальный оператор группы. Алгебра Ли

Предположим вначале, что а — скалярный параметр. Заменой параметра а добиваемся того, что тождественному преобразованию всегда соответствует Пусть в (32.1) имеется именно такой скалярный параметр. Разложим эти функции в ряды по степеням в окрестности нуля:

Выписанная линейная часть по группы называется ядром группы.

Пусть в плоскости х, у задана некоторая функция Выясним, как изменяется эта функция при преобразованиях

группы:

Линейная часть по приращения функции имеет вид

где — есть линейный дифференциальный оператор первого порядка:

который и называется инфинитезимальньш оператором группы. Если группа многопараметрическая, то у нее столько операторов, сколько независимых параметров. Пусть, например, в группе с двумя параметрами и тождественному преобразованию соответствует Тогда, как и в (33.1),

и два инфинитезимальных оператора имеют вид

Выражения для инфинитезимальных операторов приведенных выше примеров групп Ли.

A. Группа трансляций:

B. Группа растяжений:

Группа подобия:

Группа вращений:

Группа линейных преобразований:

Группа линейных преобразований с равным единице детерминантом получится из выражения для общей линейной группы

введением условия на детерминант

Точками обозначены члены более высокого порядка малости. Откуда т. е. имеется три независимых параметра, которым

соответствуют операторы

E. Группа движений:

F. Аффинная группа:

G. Проективная группа:

H. Группа, сохраняющая площадь. Условие сохранения площади имеет вид

т. е.

Откуда

I. Группа Лоренца:

Пусть — параметрическая группа имеет операторов:

Если все параметров существенны (т. е. не могут быть заменами сведены к меньшему числу), то операторы линейно независимы (первая основная теорема Ли [56]). Это означает, что не существует таких, не всех равных нулю чисел что

В противном случае операторы называются линейно зависимыми. Числа при этом предполагаются независящими от

Линейная независимость операторов (33.2) позволяет взять их в качестве базиса линейного пространства операторов, связанного с рассматриваемой группой. Любой элемент этого пространства есть оператор вида

где — координаты оператора в этом пространстве. В этом пространстве можно ввести операцию произведения операторов. Пусть и — два оператора из рассматриваемого пространства. Введем произведение операторов так:

Это означает, что действие оператора на некоторую функцию заключается в том, что нужно вначале подействовать на нее оператором V, после чего на полученную функцию подействовать оператором и из результата вычесть то, что получается при действии на этих же операторов в обратном порядке:

Такое определение требует проверки нескольких фактов. Во-первых, будет ли оператор оператором первого порядка? Прямое вычисление показывает, что возникающие вторые производные при вычислении сокращаются после вычитания Если оператор имеет вид

а оператор V вид

то оператор получается таким:

где коэффициенты имеют вид

Во-вторых, будет ли оператор принадлежать рассматриваемому пространству, т. е. иметь вид

Если заданы произвольных линейно независимых операторов, то произведение любых двух из них вовсе не обязано выражаться линейной комбинацией этих операторов. Оказывается (вторая основная теорема Ли), что если операторы (33.2) есть операторы -параметрической группы, то произведение любых двух операторов из соответствующего этой группе пространства ему же и принадлежит:

В силу того что введенное произведение очевидно обладает свойством дистрибутивности по сложению, т. е.

то нахождения констант в случае произвольных и V достаточно знать эти константы для базисных операторов

Константы называются структурными константами группы и определяют группу полностью.

В-третьих, важно знать, является ли введенное произведение корректным в следующем смысле. Говоря о преобразовании плоскости (или какой-то ее области), мы выражаем это преобразование с помощью координат х, у. Если плоскость отнести к другим координатам — и, у, то те же преобразования будут иметь иной вид. Иной вид будут иметь и операторы (правило преобразования оператора при замене переменных будет приведено в разд. 37). Зависит ли операция произведения операторов (33.5) от того, в каких переменных она вычисляется? Другими словами, будет ли все равно, если вначале заменить в операторах переменные, а потом взять их произведение, или поступить наоборот. Несложная выкладка показывает, что будет все равно. Введенное произведение не зависит от выбора системы переменных.

Получившийся объект: линейное пространство операторов группы (33.3) с введенной в этом пространстве операцией умножения называется алгеброй Ли.

Алгебра Ли порождается группой Ли. Верно и обратное: если даны какие-то линейно независимых операторов, удовлетворяющие условию (33.6), то они порождают некоторую -параметрическую группу Ли (вторая обратная теорема Ли).

Операция взятия произведения (33.4), играющая исключительно важную роль в дальнейшем, называется скобкой Пуассона, или коммутатором, или производным оператором. Она удовлетворяет так называемому тождеству Якоби

и обладает свойством косой симметрии

что очевидно из определения (33.4).

Абстрактное определение алгебры Ли не связано ни с группами, ни с операторами и определяется посредством введения в линейном пространстве операции умножения, кососимметрической и удовлетворяющей тождеству Якоби. Пример: трехмерное векторное пространство с операцией векторного произведения есть алгебра Ли.

Пример. Линейная группа с равным единице определителем. Операторы

образуют базис трехмерной алгебры Ли со следующим правилом перемножения операторов базиса: