21. Введение малого параметра. Осреднение функций

В задачах теории колебаний имеется два основных способа введения малого параметра.

1. Когда одна из одинаковых по физическому смыслу постоянных величин, присутствующих в уравнениях, много меньше других. Таким образом могут сравниваться друг с другом массы различных точек, коэффициенты жесткости упругих элементов, частоты колебаний и т. п. Например, в уравнении Матье амплитуда колебаний коэффициента жесткости часто может считаться малой в сравнении с коэффициентом жесткости а. В этом случае никаких ограничений на класс рассматриваемых решений заранее не вводится.

Этот способ формализуется приведением системы дифференциальных уравнений к безразмерному виду, в котором все основные параметры имеют порядок единицы. Малыми можно считать параметры, принимающие независимые от основных значения, много меньшие единицы. При этом появляется возможность сравнивать и разные по физическому содержанию параметры. Например, в уравнении переход к безразмерному времени дает где коэффициент может принимать значения, много меньшие единицы.

Рис. 10а

Рис. 10б

Рис. 10в

2. Второй способ связан с ограничением класса рассматриваемых движений. Чаще всего используется предположение о малости колебаний. Например, если интересоваться лишь малыми колебаниями математического маятника то можно ввести новый масштаб измерения переменной что приводит к изучению квазилинейного уравнения

Это означает, что изучается лишь малая окрестность нуля в фазовой плоскости (рис. 10, а). При этом бывает не обязательно все зависимые переменные считать малыми. Так, в примере интерес может представлять случай малых скоростей при конечных значениях координаты. Тогда замена приводит к системе что соответствует

изучению движений в области фазовой плоскости, изображенной на рис. Более общий случай состоит в том, что может быть выгодным применять разные масштабы измерения фазовых координат (рис. 10, в). Выбор масштабов требует некоторого предварительного представления об изучаемом процессе. Например, в уравнении которое можно переписать виде системы так: выполнить замену . В получаемой системе влияние на осциллятор внешнего возбуждения и нелинейности проявляются в одном приближении (во втором). При любом другом введении масштабов один из двух факторов оказывается слабее.

Более общий случай ограничения класса рассматриваемых движений, связанный с введением малого параметра, состоит в предположении о близости фазовой траектории к некоторой поверхности в фазовом пространстве. Наконец, отметим еще один способ введения малого параметра. За малый параметр может приниматься какой-либо числовой коэффициент, стоящий в уравнениях. Так, в уравнении малого параметра нет. Однако если подстановка вместо коэффициента 1/6 в оценку (19.2) убеждает нас в достаточной точности, то, очевидно, можно воспользоваться методом осреднения, принимая 1/6 за малый параметр.

Процедура приведения исходной системы к более простому виду в методе осреднения требует вычисления средних значений функций. Дадим несколько приемов вычисления среднего.

1. Использование правила Лопиталя:

если последний предел существует.

Пример:

2. Если — периодическая функция, то не существует и указанный прием не годится. Чаще всего в теории колебаний приходится находить средние следующего вида:

где представляют собой некоторые полиномы от

Выполним замену независимой переменной

Искомый интеграл приобретает вид

где — полиномы от Интегрирование ведется по окружности единичного радиуса. По теореме о вычетах [38] имеем

Пример. Вычислить среднее функции Последовательно получаем

Особые точки подынтегральной функции определяются из условия откуда Внутрь круга единичного радиуса попадает лишь поэтому

Следовательно,

В заключение приведем табличку часто встречающихся средних:

(см. скан)

Любые комбинации синуса и косинуса, содержащие хотя бы одну нечетную степень, имеют среднее, равное нулю.