Главная > Прикладные методы в теории колебаний
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

21. Введение малого параметра. Осреднение функций

В задачах теории колебаний имеется два основных способа введения малого параметра.

1. Когда одна из одинаковых по физическому смыслу постоянных величин, присутствующих в уравнениях, много меньше других. Таким образом могут сравниваться друг с другом массы различных точек, коэффициенты жесткости упругих элементов, частоты колебаний и т. п. Например, в уравнении Матье амплитуда колебаний коэффициента жесткости часто может считаться малой в сравнении с коэффициентом жесткости а. В этом случае никаких ограничений на класс рассматриваемых решений заранее не вводится.

Этот способ формализуется приведением системы дифференциальных уравнений к безразмерному виду, в котором все основные параметры имеют порядок единицы. Малыми можно считать параметры, принимающие независимые от основных значения, много меньшие единицы. При этом появляется возможность сравнивать и разные по физическому содержанию параметры. Например, в уравнении переход к безразмерному времени дает где коэффициент может принимать значения, много меньшие единицы.

Рис. 10а

Рис. 10б

Рис. 10в

2. Второй способ связан с ограничением класса рассматриваемых движений. Чаще всего используется предположение о малости колебаний. Например, если интересоваться лишь малыми колебаниями математического маятника то можно ввести новый масштаб измерения переменной что приводит к изучению квазилинейного уравнения

Это означает, что изучается лишь малая окрестность нуля в фазовой плоскости (рис. 10, а). При этом бывает не обязательно все зависимые переменные считать малыми. Так, в примере интерес может представлять случай малых скоростей при конечных значениях координаты. Тогда замена приводит к системе что соответствует

изучению движений в области фазовой плоскости, изображенной на рис. Более общий случай состоит в том, что может быть выгодным применять разные масштабы измерения фазовых координат (рис. 10, в). Выбор масштабов требует некоторого предварительного представления об изучаемом процессе. Например, в уравнении которое можно переписать виде системы так: выполнить замену . В получаемой системе влияние на осциллятор внешнего возбуждения и нелинейности проявляются в одном приближении (во втором). При любом другом введении масштабов один из двух факторов оказывается слабее.

Более общий случай ограничения класса рассматриваемых движений, связанный с введением малого параметра, состоит в предположении о близости фазовой траектории к некоторой поверхности в фазовом пространстве. Наконец, отметим еще один способ введения малого параметра. За малый параметр может приниматься какой-либо числовой коэффициент, стоящий в уравнениях. Так, в уравнении малого параметра нет. Однако если подстановка вместо коэффициента 1/6 в оценку (19.2) убеждает нас в достаточной точности, то, очевидно, можно воспользоваться методом осреднения, принимая 1/6 за малый параметр.

Процедура приведения исходной системы к более простому виду в методе осреднения требует вычисления средних значений функций. Дадим несколько приемов вычисления среднего.

1. Использование правила Лопиталя:

если последний предел существует.

Пример:

2. Если периодическая функция, то не существует и указанный прием не годится. Чаще всего в теории колебаний приходится находить средние следующего вида:

где представляют собой некоторые полиномы от

Выполним замену независимой переменной

Искомый интеграл приобретает вид

где — полиномы от Интегрирование ведется по окружности единичного радиуса. По теореме о вычетах [38] имеем

Пример. Вычислить среднее функции Последовательно получаем

Особые точки подынтегральной функции определяются из условия откуда Внутрь круга единичного радиуса попадает лишь поэтому

Следовательно,

В заключение приведем табличку часто встречающихся средних:

(см. скан)

Любые комбинации синуса и косинуса, содержащие хотя бы одну нечетную степень, имеют среднее, равное нулю.

1
Оглавление
email@scask.ru