Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 21. Введение малого параметра. Осреднение функцийВ задачах теории колебаний имеется два основных способа введения малого параметра. 1. Когда одна из одинаковых по физическому смыслу постоянных величин, присутствующих в уравнениях, много меньше других. Таким образом могут сравниваться друг с другом массы различных точек, коэффициенты жесткости упругих элементов, частоты колебаний и т. п. Например, в уравнении Матье Этот способ формализуется приведением системы дифференциальных уравнений к безразмерному виду, в котором все основные параметры имеют порядок единицы. Малыми можно считать параметры, принимающие независимые от основных значения, много меньшие единицы. При этом появляется возможность сравнивать и разные по физическому содержанию параметры. Например, в уравнении
Рис. 10а
Рис. 10б
Рис. 10в 2. Второй способ связан с ограничением класса рассматриваемых движений. Чаще всего используется предположение о малости колебаний. Например, если интересоваться лишь малыми колебаниями математического маятника
Это означает, что изучается лишь малая изучению движений в области фазовой плоскости, изображенной на рис. Более общий случай ограничения класса рассматриваемых движений, связанный с введением малого параметра, состоит в предположении о близости фазовой траектории к некоторой поверхности в фазовом пространстве. Наконец, отметим еще один способ введения малого параметра. За малый параметр может приниматься какой-либо числовой коэффициент, стоящий в уравнениях. Так, в уравнении Процедура приведения исходной системы к более простому виду в методе осреднения требует вычисления средних значений функций. Дадим несколько приемов вычисления среднего. 1. Использование правила Лопиталя:
если последний предел существует. Пример: 2. Если
где Выполним замену независимой переменной
Искомый интеграл приобретает вид
где
Пример. Вычислить среднее функции
Особые точки подынтегральной функции определяются из условия
Следовательно,
В заключение приведем табличку часто встречающихся средних: (см. скан) Любые комбинации синуса и косинуса, содержащие хотя бы одну нечетную степень, имеют среднее, равное нулю.
|
1 |
Оглавление
|