57. Пространственная прецессия стоячих волн во вращающемся сферически симметричном упругом теле

Явление прецессии стоячих волн в тонком упругом кольце, вращающемся с постоянной угловой скоростью со, впервые обсуждалось Брайаном в [64]. Им было показано, что система координат в которой может наблюдаться стоячая волна упругих колебаний вращается с постоянной угловой скоростью относительно абсолютного пространства:

где — номер формы колебаний.

В [68] были опубликованы результаты эксперимента с тонкой полусферической оболочкой. В первоначально неподвижной оболочке возбуждалась стоячая волна упругих колебаний, соответствующая основной форме с четырьмя узлами на окружности. Затем оболочка вокруг оси симметрии поворачивалась на угол 90° и останавливалась. Было отмечено, что стоячая волна также поворачивалась, не изменяя своей формы (как твердое тело), и останавливалась. При этом угол поворота волны относительно неподвижного основания составлял . В качестве теоретического объяснения наблюдаемого эффекта автор ссылается на результат (57.1) Брайана. Однако описанные два факта никакого отношения друг

к другу не имеют. В теоретической модели Брайана кольцо вращается с постоянной угловой скоростью и прецессия волны (57.1) описывается в рамках спектральной теории линейных систем с постоянными коэффициентами. В [68] скорость вращения оболочки существенно переменна и наблюдаемый эффект представляет собой качественно новый факт в свойствах упругих колебаний симметричных тел.

В предыдущих разделах было дано теоретическое объяснение и описание этого эксперимента. В частности, было показано, что результат Брайана допускает широкое обобщение: формула (57.1) является точной в рамках рассматриваемой модели не только для постоянной угловой скорости со, но и для угловой скорости, зависящей произвольным образом от времени:

Если обе части этого соотношения проинтегрировать, то получается аналогичное соотношение для углов поворота тела и волны что и дает объяснение эксперимента [68].

Если соотношение (57.2) продифференцировать, то получим что угловое ускорение волны пропорционально угловому ускорению кольца. Момент внешних сил, ускоряющих кольцо, вызывает и ускорение волны, что и позволяет говорить об инертных свойствах волн в симметричных упругих системах.

И в случае кольца, и в случае оболочки эффект инертности упругих волн имеет одномерный характер: угловая скорость есть скаляр, характеризующий вращение упругого твердого тела вокруг неподвижной в пространстве оси. Ниже рассматривается обобщение этого эффекта на произвольный пространственный случай.

Рассмотрим упругое сферически симметричное твердое тело со свободной границей, на которое действуют массовые силы плотности

Главный вектор, сил, действующих на тело, без ограничения общности будем полагать равным нулю. Под действием главного момента тело меняет свою ориентацию в пространстве — радиус-вектор произвольной точки тела; — элемент массы; V — область, занятая телом).

Для описания упругих деформаций тела введем систему координат связанную с телом так, чтобы выполнялись условия

где — упругое смещение точки, в недеформированном состоянии занимавшей положение

Условия (57.3) характеризуют координатный трехгранник

относительно которого тело в среднем (по всем частицам) не перемещается и не поворачивается.

Ставится следующая задача: зная абсолютную угловую скорость трехгранника в проекциях на его же оси определить, как ведут себя волны упругих деформаций.

Запишем принцип Даламбера — Лагранжа для рассматриваемого тела:

здесь — плотность, зависящая лишь от — градиент квадратичного функционала линейной теории упругости. Координаты, определяющие угловое положение тела как целого, не варьируются, предполагается, что угловая скорость со — известная функция времени.

Для выбора обобщенных координат рассмотрим случай . В [69] было показано, что спектр собственных колебаний свободного твердого тела при условиях (57.3) дискретен. Дискретность спектра означает следующее. Возрастающая последовательность частот собственных колебаний неограничена, а собственные элементы соответствующие этим частотам, образуют ортонормированную систему функций, полную в конфигурационном пространстве задачи:

Это позволяет ввести независимые лагранжевы координаты, описывающие все степени свободы при деформировании тела, в общем случае следующим образом:

Задача о собственных колебаниях сферически симметричного свободного тела допускает группу поэтому спектр собственных частот вырожден и состоит из последовательности, по крайней мере, трехкратных частот: Конфигурационное пространство при этом представляет собой прямое произведение трехмерных собственных подпространств:

Фиксируем номер произвольного собственного подпространства и введем обозначения для соответствующих обобщенных координат: Подставляя (57.6), а также в (57.3) и приравнивая нулю коэффициенты при

независимых вариациях получаем бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно вида

в которой скалярные коэффициенты имеют вид

представляют собой линейные функции обобщенных координат, соответствующих другим собственным подпространствам. Присутствие этих членов характеризует тот факт, что системы типа (57.7) для различных подпространств не являются независимыми друг от друга.

При получении уравнений (57.7) было предположено ради простоты, что массовые силы ортогональны всем собственным функциям: Это означает, что в присутствует лишь постоянная составляющая обеспечивающая вращение тела со скоростью

Векторные коэффициенты имеют вид

В силу сферической симметрии выбор собственных векторов можно осуществить так, чтобы

где

Очевидно,

Если ввести обозначения

то уравнения (57.7) можно переписать в векторной форме:

где — матрица позиционных сил, состоящая из коэффициентов упругих сил и коэффициентов

Уравнение (57.9) определяет эволюцию -й формы колебаний свободного твердого тела, вызванную наличием вращения. Эта эволюция определяется двумя обстоятельствами. Во-первых, сама орма колебаний непосредственно реагирует на вращение тела, что определяется наличием в уравнении (57.9) членов с и Во-вторых, рассматриваемая форма подвергается воздействию со стороны других форм. Сразу заметим, что это воздействие является незначительным, поскольку, к примеру, при решении уравнений методом осреднения все члены, определяемые в первом приближении исчезают.

Имеет место следующий факт. Существует такая система координат , где — зависящая от времени ортогональная матрица преобразования координат, в которой уравнение (57.9) при имеет самосопряженную форму. В этой системе координат уравпение (57.9) допускает рашения типа стоячей волны.

Покажем это. Подставляя в (57.9), найдем

Потребуем

Получим , подставляя в (57.10), найдем

Таким образом, если в неподвижном теле возбудить стоячую вол- ну колебаний с каким-нибудь чистым током и после этого привести тело во вращение с произвольной угловой скоростью, то стоячая волна будет поворачиваться относительно тела по закону (57.11). Уравнение (57.11) есть уравнение Пуассона. Сравним его с уравнением Пуассона для самого твердого тела в котором ортогональная матрица «Ж определяет положение твердого тела в инерциальном пространстве. Откуда и видно, что угловая скорость стоячей волны относительно тела пропорциональна угловой скорости тела относительно пространства: или же для скорости волны относительно пространства имеем