Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 57. Пространственная прецессия стоячих волн во вращающемся сферически симметричном упругом телеЯвление прецессии стоячих волн в тонком упругом кольце, вращающемся с постоянной угловой скоростью со, впервые обсуждалось Брайаном в [64]. Им было показано, что система координат в которой может наблюдаться стоячая волна упругих колебаний вращается с постоянной угловой скоростью
где В [68] были опубликованы результаты эксперимента с тонкой полусферической оболочкой. В первоначально неподвижной оболочке возбуждалась стоячая волна упругих колебаний, соответствующая основной форме с четырьмя узлами на окружности. Затем оболочка вокруг оси симметрии поворачивалась на угол 90° и останавливалась. Было отмечено, что стоячая волна также поворачивалась, не изменяя своей формы (как твердое тело), и останавливалась. При этом угол поворота волны относительно неподвижного основания составлял к другу не имеют. В теоретической модели Брайана кольцо вращается с постоянной угловой скоростью и прецессия волны (57.1) описывается в рамках спектральной теории линейных систем с постоянными коэффициентами. В [68] скорость вращения оболочки существенно переменна и наблюдаемый эффект представляет собой качественно новый факт в свойствах упругих колебаний симметричных тел. В предыдущих разделах было дано теоретическое объяснение и описание этого эксперимента. В частности, было показано, что результат Брайана допускает широкое обобщение: формула (57.1) является точной в рамках рассматриваемой модели не только для постоянной угловой скорости со, но и для угловой скорости, зависящей произвольным образом от времени:
Если обе части этого соотношения проинтегрировать, то получается аналогичное соотношение для углов поворота тела и волны что и дает объяснение эксперимента [68]. Если соотношение (57.2) продифференцировать, то получим что угловое ускорение волны пропорционально угловому ускорению кольца. Момент внешних сил, ускоряющих кольцо, вызывает и ускорение волны, что и позволяет говорить об инертных свойствах волн в симметричных упругих системах. И в случае кольца, и в случае оболочки эффект инертности упругих волн имеет одномерный характер: угловая скорость Рассмотрим упругое сферически симметричное твердое тело со свободной границей, на которое действуют массовые силы плотности Главный вектор, сил, действующих на тело, Для описания упругих деформаций тела введем систему координат
где Условия (57.3) характеризуют координатный трехгранник относительно которого тело в среднем (по всем частицам) не перемещается и не поворачивается. Ставится следующая задача: зная абсолютную угловую скорость трехгранника Запишем принцип Даламбера — Лагранжа для рассматриваемого тела:
здесь Для выбора обобщенных координат рассмотрим случай
Это позволяет ввести независимые лагранжевы координаты, описывающие все степени свободы при деформировании тела, в общем случае
Задача о собственных колебаниях сферически симметричного свободного тела допускает группу
Фиксируем номер независимых вариациях
в которой скалярные коэффициенты имеют вид
При получении уравнений (57.7) было предположено ради простоты, что массовые силы Векторные коэффициенты
В силу сферической симметрии выбор собственных векторов
где
Очевидно, Если ввести обозначения
то уравнения (57.7) можно переписать в векторной форме:
где Уравнение (57.9) определяет эволюцию Имеет место следующий факт. Существует такая система координат Покажем это. Подставляя
Потребуем
Получим
Таким образом, если в неподвижном теле возбудить стоячую вол- ну колебаний с каким-нибудь чистым током и после этого привести тело во вращение с произвольной угловой скоростью, то стоячая волна будет поворачиваться относительно тела по закону (57.11). Уравнение (57.11) есть уравнение Пуассона. Сравним его с уравнением Пуассона для самого твердого тела
|
1 |
Оглавление
|