Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 42. Симметрии уравнений в частных производныхПусть уравнение в частных производных с двумя независимыми переменными записано в виде
И пусть в пространстве х, у, z действует группа с оператором
Введя обозначения
получаем уравнение (42.1) как уравнение поверхности в пространстве соответствующего числа измерений:
Группа с оператором (42.2) индуцирует в этом пространстве группу (продолженная группа), определяемую продолженным оператором. Способ построения продолженного оператора состоит в следующем. Пусть продолженная группа записана в виде
Требуется вычислить коэффициенты
Точно так же определены переменные
Подставляем в это соотношение (42.5):
Заменяя
Эти соотношения достаточны для построения оператора первого продолжения. Для построения оператора второго продолжения следует снова воспользоваться условием полного дифференциала:
или
Приращения
Поступая как и при нахождении лир, получим
Оператор второго продолжения имеет вид
Условие инвариантности поверхности (42.4), или, что то же самое, условие инвариантности уравнения в частных производных второго порядка (42.1), получается следующим:
На уравнения (42.8) можно смотреть двояко: задан оператор Если уравнения (42.1) линейны, то, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, условия инвариантности уравнения можно формулировать без использования продолжения оператора, в терминах коммутаторов. Пусть уравнение (42.1) линейно и может быть записано так:
где А — линейный дифференциальный оператор второго порядка:
В силу линейности уравнения (42.9) и группу преобразований (42.5) следует искать такой, чтобы она не нарушала этой линейности. Из (42.7) следует, что для этого необходимо, чтобы
Вид оператора такой группы следующий:
Или в эквивалентной записи:
Коммутатор двух операторов
Определение. Оператор
Это определение аналогично условию (38.17) в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема. Оператор симметрий отображает решения уравнения (42.9) в решения этого же уравнения. Доказательство. Пусть
Верно и обратное: если некоторый оператор вида (42.10) отображает решения в решения, то имеет место (42.11). Пример. Уравнение Гельмгольца:
Требуется найти алгебру симметрий этого уравнения. Исходим из условия (42.11), в котором помимо неизвестного оператора Вычисление коммутатора дает
Вычитая из коммутатора оператор
Это и есть определяющие уравнения. Из первых трех получаем
что в свою очередь влечет из четвертого и пятого уравнений Следовательно, общий вид искомого оператора
Он представляет собой произвольный элемент четырехмерной алгебры операторов
с базисом операторов
Операторы
|
1 |
Оглавление
|