42. Симметрии уравнений в частных производных

Пусть уравнение в частных производных с двумя независимыми переменными записано в виде

И пусть в пространстве х, у, z действует группа с оператором

Введя обозначения

получаем уравнение (42.1) как уравнение поверхности в пространстве соответствующего числа измерений:

Группа с оператором (42.2) индуцирует в этом пространстве группу (продолженная группа), определяемую продолженным оператором. Способ построения продолженного оператора состоит в следующем. Пусть продолженная группа записана в виде

Требуется вычислить коэффициенты Переменные не являются независимыми и связаны условием полного дифференциала

Точно так же определены переменные и в преобразованных переменных:

Подставляем в это соотношение (42.5):

Заменяя на (42.6) и приравнивая коэффициенты при находим

Эти соотношения достаточны для построения оператора первого продолжения. Для построения оператора второго продолжения следует снова воспользоваться условием полного дифференциала:

или

Приращения определяются коэффициентами

Поступая как и при нахождении лир, получим

Оператор второго продолжения имеет вид

Условие инвариантности поверхности (42.4), или, что то же самое, условие инвариантности уравнения в частных производных второго порядка (42.1), получается следующим:

На уравнения (42.8) можно смотреть двояко: задан оператор — найти инвариантную поверхность или задана поверхность — найти сохраняющую ее группу. В обыкновенных дифференциальных уравнениях обе задачи эквивалентны по сложности, поскольку обыкновенное дифференциальное уравнение и группа, преобразующая его,— объект одной и той же природы. В случае уравнений в частных производных это уже не так. Дифференциальные уравнения, определяющие группу, — обыкновенные, а преобразуемое уравнение — в частных производных. Первый объект проще. Поэтому алгоритмы поиска групп симметрий уравнений в частных производных оказываются эффективными. Соотношения (42.8) позволяют получить определяющие уравнения относительно коэффициентов искомого оператора. Эти уравнения всегда линейны, и множество их решений образует алгебру симметрий рассматриваемого уравнения (42.1). Подробности и примеры можно найти в [46].

Если уравнения (42.1) линейны, то, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, условия инвариантности уравнения можно формулировать без использования продолжения оператора, в терминах коммутаторов.

Пусть уравнение (42.1) линейно и может быть записано так:

где А — линейный дифференциальный оператор второго порядка:

В силу линейности уравнения (42.9) и группу преобразований (42.5) следует искать такой, чтобы она не нарушала этой линейности. Из (42.7) следует, что для этого необходимо, чтобы

Вид оператора такой группы следующий:

Или в эквивалентной записи:

Коммутатор двух операторов есть оператор второго порядка:

Определение. Оператор называется оператором симметрий для уравнения (42.9), если

Это определение аналогично условию (38.17) в случае обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема. Оператор симметрий отображает решения уравнения (42.9) в решения этого же уравнения.

Доказательство. Пусть — решение, тогда тоже решение, поскольку

Верно и обратное: если некоторый оператор вида (42.10) отображает решения в решения, то имеет место (42.11).

Пример. Уравнение Гельмгольца:

Требуется найти алгебру симметрий этого уравнения. Исходим из условия (42.11), в котором помимо неизвестного оператора нахождению подлежит скалярный коэффициент

Вычисление коммутатора дает

Вычитая из коммутатора оператор и обращая в нуль коэффициенты полученного разностного оператора, находим

Это и есть определяющие уравнения. Из первых трех получаем

что в свою очередь влечет из четвертого и пятого уравнений Тогда из последнего уравнения находим Оставшаяся система легко решается: где — произвольные постоянные.

Следовательно, общий вид искомого оператора такой:

Он представляет собой произвольный элемент четырехмерной алгебры операторов

с базисом операторов

Операторы — операторы параллельных переносов (трансляций) вдоль осей х и у, оператор — оператор группы вращений, оператор — оператор растяжений по зависимой переменной (изменение масштаба).