25. Лагранжев формализм
В задачах механики исходное описание системы часто делается не в терминах системы дифференциальных уравнений, а в терминах скалярных дескриптивных функций, таких, как функция Лагранжа, Гамильтона, Рауса и др. В этих случаях приведение системы к более простому виду при помощи идей метода осреднения можно попытаться сделать не посредством упрощения дифференциальных уравнений, а посредством упрощения дескриптивных функций. Полезность такого подхода очевидна: вместо преобразования системы некоторого числа дифференциальных уравнений придется преобразовывать одну-единственную скалярную функцию. Упрощенные же уравнения получатся из нее простым приемом. В общем виде такой подход для построения осредненных гамильтонианов будет изложен в разд. 47, где он будет соединен с весьма эффективной теоретико-групповой техникой. Здесь же мы рассмотрим связь преобразования Лежандра, переводящего лагранжиан системы в ее гамильтониан, с однократным осреднением возмущенной части лагранжиана. Будем рассматривать квазилинейную систему и для большей наглядности будем считать ее с одной степенью свободы. Обобщение результата на случай
произвольного числа степеней свободы будет совершенно очевидным.
Пусть функция Лагранжа квазилинейного осциллятора имеет
Уравнения движения, соответствующие этой функции (после приведения к нормальной форме Коши), таковы:
Общее решение вырожденной системы имеет вид
Рассматривая эти функции как уравнения замены 
в невырожденной системе, получим
Осредним уравнения (25.2) по явно входящему времени:
Рассмотрим среднее, стоящее в первом уравнении:
Среднее 
равно нулю, в частности, если 
— периодическая или условно-периодическая функция времени.
Рассмотрим функцию 
Вычислим производные
Следовательно, осредненные уравнения (25.3) могут быть записаны в следующей форме:
т. е. усредненные уравнения имеют гамильтонову форму, причем роль гамильтониана играет среднее вдоль решения вырожденной системы значение возмущенной части лагранжиана.
Пример. 
Соответствующее уравнение имеет вид 
следовательно, случай резонансный.
Находим 
Уравнения (25.4)
имеют решение 
Решение исходной задачи есть
Пример. Осциллятор Дуффинга 
Гамильтониан осредненной системы
Следовательно, осредненные уравнения выглядят так:
Нетрудно видеть, что 
поэтому получаем очевидное решение
Или в исходной переменной
