39. Принцип суперпозиции решений и разделение движений в нелинейных системах
Рассмотрим две системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
Или в краткой записи:
Этим системам соответствуют группы
представляющие собой решения систем (39.1) с начальными условиями
Операторы этих групп:
Рассмотрим композицию преобразований из разных групп, т. е. пусть
Выполним эти же преобразования (при тех же фиксированных
и
), но в
обратном порядке:
Зададимся вопросом, когда композиция не зависит от порядка выполнения преобразований? Если такое случается, говорят, что указанные две группы коммутируют:
Утверждение 1. Группы коммутируют тогда и только тогда, когда коммутируют их операторы.
Доказательство. Воспользуемся рядами Ли (36.6):
Следовательно, группы коммутируют, если
Для этого необходимо и достаточно, чтобы
Это проверяется исходя из определения операторной экспоненты прямым вычислением.
Утверждение 2. Если группы коммутируют, то их композиция есть также группа при условии отождествления параметров
-группа.
Справедливость утверждения следует из того, что при условии коммутирования имеем
Написанный в правой части ряд Ли порождает группу с оператором
Теорема. Принцип суперпозиции в нелинейных системах. Если система дифференциальных уравнений
такова, что операторы систем (39.1) коммутируют:
то решение системы (39.4) является суперпозицией решений систем (39.1):
— начальное условие.
Доказательство. Вытекает из доказанных выше утверждений.
Пример.
Операторы
и
имеющие вид
коммутируют:
Решение первой системы:
Решение второй системы:
Решение полной системы есть суперпозиция этих решений в любом порядке (вместо начальных условий решения одной системы ставятся решения другой):
Доказанное свойство суперпозиции, иными словами, означает разделение движений, когда движение полной системы представляет собой суперпозицию движений ее частей. Это обстоятельство прямо связано с методами разделения движений (обычно называемых быстрыми и медленными) в нелинейной механике, в которой постановка задачи, как это следует из гл. II, такова:
Известно решение вырожденной системы
С — произвольные постоянные интегрирования.
Сохраняя этот вид решения и для полной системы, нужно найти уравнение, которому должно удовлетворять при этом
Если бы операторы уравнений
коммутировали, то результат
следовал бы из доказанного принципа суперпозиций. Вся задача теории возмущений, следовательно, состоит в том, чтобы заменами
привести систему (39.5) к виду, в котором указанные составляющие коммутируют. Эта точка зрения будет продемонстрирована в следующей главе.