39. Принцип суперпозиции решений и разделение движений в нелинейных системах

Рассмотрим две системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

Или в краткой записи:

Этим системам соответствуют группы

представляющие собой решения систем (39.1) с начальными условиями

Операторы этих групп:

Рассмотрим композицию преобразований из разных групп, т. е. пусть Выполним эти же преобразования (при тех же фиксированных и ), но в

обратном порядке: Зададимся вопросом, когда композиция не зависит от порядка выполнения преобразований? Если такое случается, говорят, что указанные две группы коммутируют:

Утверждение 1. Группы коммутируют тогда и только тогда, когда коммутируют их операторы.

Доказательство. Воспользуемся рядами Ли (36.6):

Следовательно, группы коммутируют, если

Для этого необходимо и достаточно, чтобы

Это проверяется исходя из определения операторной экспоненты прямым вычислением.

Утверждение 2. Если группы коммутируют, то их композиция есть также группа при условии отождествления параметров -группа.

Справедливость утверждения следует из того, что при условии коммутирования имеем

Написанный в правой части ряд Ли порождает группу с оператором

Теорема. Принцип суперпозиции в нелинейных системах. Если система дифференциальных уравнений

такова, что операторы систем (39.1) коммутируют: то решение системы (39.4) является суперпозицией решений систем (39.1):

— начальное условие.

Доказательство. Вытекает из доказанных выше утверждений.

Пример.

Операторы

и

имеющие вид

коммутируют:

Решение первой системы:

Решение второй системы:

Решение полной системы есть суперпозиция этих решений в любом порядке (вместо начальных условий решения одной системы ставятся решения другой):

Доказанное свойство суперпозиции, иными словами, означает разделение движений, когда движение полной системы представляет собой суперпозицию движений ее частей. Это обстоятельство прямо связано с методами разделения движений (обычно называемых быстрыми и медленными) в нелинейной механике, в которой постановка задачи, как это следует из гл. II, такова:

Известно решение вырожденной системы

С — произвольные постоянные интегрирования.

Сохраняя этот вид решения и для полной системы, нужно найти уравнение, которому должно удовлетворять при этом Если бы операторы уравнений

коммутировали, то результат следовал бы из доказанного принципа суперпозиций. Вся задача теории возмущений, следовательно, состоит в том, чтобы заменами привести систему (39.5) к виду, в котором указанные составляющие коммутируют. Эта точка зрения будет продемонстрирована в следующей главе.