Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 40. Продолжение оператора. Дифференциальные и интегральные инвариантыНа задачу преобразования дифференциальных уравнений при помощи некоторой одночленной группы преобразований можно посмотреть несколько иначе, чем это было сделано в разд. 38. Пусть, к примеру, требуется выяснить, как изменяется группой дифференциальное уравнение, заданное в плоскости в следующем виде:
Группа преобразований плоскости:
Уравнение (40.1) можно рассматривать как уравнение поверхности в трехмерном пространстве
Найдем
Откуда находим
где нижние индексы означают частные производные по соответствующей переменной. Группа (40.3) при условии (40.4) называется группой первого продолжения, а ее оператор
называется оператором первого продолжения. Аналогично можно рассматривать уравнения, содержащие производные любых порядков. Например: Группа, индуцируемая группой (40.2), имеет вид
Здесь осталось найти
следовательно,
Оператор второго продолжения
где коэффициенты Пользуясь понятием продолженного оператора, можно преобразования дифференциальных систем осуществлять не с помощью формулы Хаусдорфа, а при помощи ряда Ли. При этом на переменную В разных задачах оказываются удобными разные точки зрения. Инварианты продолженной группы называются дифференциальными инвариантами группы. Пример. Найти дифференциальные инварианты до второго порядка включительно группы вращений:
т. е.
Нахождение инвариантов сводится к нахождению первых интегралов следующей системы:
Из первого уравнения Из уравнения
получаем
Наконец, из уравнения
находим
Этот инвариант имеет смысл кривизны кривой. Интегральные инварианты. Пусть в плоскости
Пусть, далее, в плоскости действует группа преобразований
Рассматриваемая кривая будет описываться новой функцией
Под инвариантностью функционала (40.9) по отношению к группе (40.10) понимается независимость от преобразований группы вида подынтегрального выражения, т. е.
Выражение для кривой меняется, пределы интегрирования тоже меняются, однако правило построения функционала в новых переменных остается тем же, что и в старых. Такие функционалы называются интегральными инвариантами группы. Найдем условия, накладываемые на функцию
Рис. 39
Рис. 40 Подставляя в (40.11) преобразования (40.10) и пользуясь полученными ранее формулами для преобразования функций, найдем
где Таким образом, для инвариантности функционала в указанном смысле необходимо
Пример. Найти интегральные инварианты группы вращения. Продолженный оператор имеет вид
Условие (40.12) выглядит следующим образом:
Соответствующая система обыкновенных уравнений
Уравнения, не содержащие
Из уравнения
В частности, при
|
1 |
Оглавление
|