40. Продолжение оператора. Дифференциальные и интегральные инварианты

На задачу преобразования дифференциальных уравнений при помощи некоторой одночленной группы преобразований можно посмотреть несколько иначе, чем это было сделано в разд. 38. Пусть, к примеру, требуется выяснить, как изменяется группой дифференциальное уравнение, заданное в плоскости в следующем виде:

Группа преобразований плоскости:

Уравнение (40.1) можно рассматривать как уравнение поверхности в трехмерном пространстве Поскольку переменные по смыслу связаны, то и преобразование, которое индуцирует рассматриваемая группа в таком трехмерном пространстве, будет целиком определяться коэффициентами преобразования (40.2):

Найдем По определению:

Откуда находим

где нижние индексы означают частные производные по соответствующей переменной.

Группа (40.3) при условии (40.4) называется группой первого продолжения, а ее оператор

называется оператором первого продолжения.

Аналогично можно рассматривать уравнения, содержащие производные любых порядков. Например: Это уравнение поверхности в четырехмерном пространстве переменных

Группа, индуцируемая группой (40.2), имеет вид

Здесь осталось найти По аналогии с предыдущим

следовательно,

Оператор второго продолжения

где коэффициенты определяются формулами (40.4) и (40.7).

Пользуясь понятием продолженного оператора, можно преобразования дифференциальных систем осуществлять не с помощью формулы Хаусдорфа, а при помощи ряда Ли. При этом на переменную можно смотреть, как на переменную расширенного фазового пространства (как это делалось в примерах разд. 38), или исключить посредством деления всех уравнений системы на одно из них.

В разных задачах оказываются удобными разные точки зрения. Инварианты продолженной группы называются дифференциальными инвариантами группы.

Пример. Найти дифференциальные инварианты до второго порядка включительно группы вращений: Вычислим второе продолжение оператора. По формуле (40.4) находим

т. е.

Нахождение инвариантов сводится к нахождению первых интегралов следующей системы:

Из первого уравнения

Из уравнения

получаем

Наконец, из уравнения

находим

Этот инвариант имеет смысл кривизны кривой.

Интегральные инварианты. Пусть в плоскости задана некоторая кривая (рис. 39) и требуется вычислить некоторый функционал вдоль этой кривой на промежутке от а до

Пусть, далее, в плоскости действует группа преобразований

Рассматриваемая кривая будет описываться новой функцией и в новых пределах (рис. 40). В новых переменных функционал (40.9) приобретет вид

Под инвариантностью функционала (40.9) по отношению к группе (40.10) понимается независимость от преобразований группы вида подынтегрального выражения, т. е.

Выражение для кривой меняется, пределы интегрирования тоже меняются, однако правило построения функционала в новых переменных остается тем же, что и в старых. Такие функционалы называются интегральными инвариантами группы. Найдем условия, накладываемые на функцию при которых соответствующий функционал будет интегральным инвариантом.

Рис. 39

Рис. 40

Подставляя в (40.11) преобразования (40.10) и пользуясь полученными ранее формулами для преобразования функций, найдем

где — оператор -го продолжения — число производных в подынтегральной функции).

Таким образом, для инвариантности функционала в указанном смысле необходимо

Пример. Найти интегральные инварианты группы вращения. Продолженный оператор имеет вид

Условие (40.12) выглядит следующим образом:

Соответствующая система обыкновенных уравнений

Уравнения, не содержащие дают дифференциальные инварианты до порядка включительно:

Из уравнения находим или Общее решение уравнения (40.13) есть функция которая находится из условия произвольная функция найденных первых интегралов. Или, разрешая это соотношение относительно

— произвольная функция дифференциальных инвариантов. Таким образом, общее выражение для интегрального инварианта рассматриваемого вида группы вращений есть

В частности, при этот функционал выражает длину кривой