Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 61. Волчок Лагранжа на подвижном основании. Ядерный магнитный резонансРассматривается задача о поведении волчка Лагранжа в случае, когда точка подвеса совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости. Особенность задачи состоит в том, что траектория единичного вектора оси симметрии тела в указанных условиях может быть всюду плотной на единичной сфере. Это делает невозможным использование для описания движения локальных координат типа углов Эйлера. Прцменение уравнений в невырождающихся переменных позволяет осуществить полное исследование системы. Полученные результаты имеют отношение к модели ядерного магнитного резонанса, для которого в данной работе выводятся уравнения типа уравнений Блоха [1], минуя феноменологические подходы Рассмотренная модель может служить также и для описания ряда явлений в гироскопах с неконтактным подвесом. Рассмотрим динамически симметричное твердое тело (рис. 74), закрепленное в точке О, момент инерции котого вокруг оси, перпендикулярной оси симметрии и проходящей через точку О, обозначим А, а момент инерции тела вокруг оси симметрии Переменные, описывающие положение тела, таковы:
Рис. 74 Для отсчета угла у введем вспомогательный трехгранник Введенный таким образом трехгранник является неголономным: его кинематика связана с эффектом параллельного переноса вектора на римановой сфере. Утверждение. Уравнения движения описанного твердого тела в указанных переменных имеют вид
где Доказательство. Угловая скорость тела равна
В результате выражение для кинетического момента приобретает вид
Учитывая, что Если момент М выражен явно через введенные фазовые переменные Случаи понижения порядка системы (61.1). Случай I. Момент М не зависит от у. Обозначив
Случай II. Составляющая
Рассмотрим характерный пример, имеющий конкретные физические приложения, в котором использование уравнений (61.1) позволяет обойти трудности, связанные с вырождением локальных координат в окрестности особых точек, и более компактно и наглядно представить решение. Волчок Лагранжа на подвижном основании. Полагаем без ограничения общности, что центр масс тела С находится от точки 0 на расстоянии, равном единице. Система координат
где
В дальнейшем будем считать величину кинетического момента Н достаточно большой. В этом случае в системе (62.3) существует представительное интегральное многообразие, к которому стремятся не лежащие на нем интегральные кривые при
Подлежащая определению функция
Это уравнение будем решать относительно
Соотношения эквивалентности определяют большую величину кинетического момента Н и малую величину силы инерции переносного движения а в сравнении с силой тяжести Р. Дальше никакие изменения в обозначениях в уравнениях (61.3)-(61.5) с целью явного выделения малого параметра 8 не производятся, соотношения (61.6) учитываются лишь при сравнении порядков различных членов в процессе преобразований. Введем функцию
Соотношения (61.7) представляют собой явную рекуррентную схему, позволяющую последовательно найти все
Очевидно, свойство сжимаемости у данного оператора имеется заведомо при достаточно больших Н. Подставляя
Подставляя найденное на предыдущем шаге
Перейдем к вращающейся вместе с вектором перегрузки системе координат
Поскольку уравнения (61.8) и (61.9) записаны в инвариантной векторной форме, то замена переменных (61.10) в них сводится в правых частях лишь к замене
В итоге уравнение (61.8) запишется:
где векторы
Введем в уравнении (61.11) замену времени
Тогда в покоординатной форме это уравнение примет вид
Уравнение второго приближения (61.9) после перехода к вращающейся системе координат и замены времени (61.13) в покоординатной форме запишется так:
где дополнительно использованы обозначения
Все входящие в задачу физические параметры в уравнениях первого приближения (61.14) связаны двумя безразмерными параметрами (61.13): сфере, соотношение
Решение задачи в этом случае получается в квадратурах. Интеграл (61.16) представляет собой уравнение траектории на сфере в проекции на плоскость Если
и для определения периода движения по этой траектории имеем
или в размерном времени
Рассмотрим теперь общий случай
При положительных (кликните для просмотра скана) при возрастании Для выяснения характера особых точек в общем случае
Здесь за вариациями переменных в окрестности Характеристическое уравнение этой системы имеет вид
Один нулевой корень является следствием того, что уравнения (61.14) есть уравнения на сфере. Устойчивость определяется корнями стоящего в скобках квадратного трехчлена: если Дополнительного исследования требует только в случае резонанса
Составляются уравнения в вариациях около этих стационарных точек и проводится анализ характеристического уравнения. При этом оказывается, что изображенные на рис. 76 центры на самом деле представляют собой фокусы и фазовый портрет этого случая эквивалентен изображенному на рис. 78. Разница заключается лишь в том, что декремент затухания в случае резонанса определяется членами более высокого порядка малости, чем в нерезонансном случае. Изученная механическая модель может иметь следующие приложения. Гироскоп с неконтактным подвесом. В случаях, когда такой гироскоп выполнен по схеме, близкой к описанной выше (наличие динамической симметрии, смещение центра масс и большой кинетический момент), низкочастотные колебания основания с частотами прецессии могут вызвать очень большие эволюции прибора, вплоть до полного опрокидывания. Гироскоп в кардановом подвесе со смещенным центром масс. Уравнения (61.14) не содержат момента инерции А, поэтому могут использоваться и для описания поведения гироскопа в кардановом подвесе для случаев, исключающих складывание рамок. Ядерный магнитный резонанс. Уравнения (61.8) и (61.9) или эквивалентные им (61.14) и (61.15) можно рассматривать как уточнение классических уравнений ядерного магнитного резонанса, известных как феноменологические уравнения Блоха [1]. Различия предложенных уравнений (61.8) (61.9) от известных состоят в следующем. В уравнениях Блоха диссипативные члены вводятся искусственно и пропорциональны компонентам вектора Таким образом, если описание ядерного магнитного резонанса классическими уравнениями возможно, то из них вытекает следующее. При облучении переменным поперечным полем вектор намагниченности (в нашем случае Если В заключение дадим связь используемых в статье параметров с принятыми в теории ядерного магнитного резонанса [1]:
где у — константа, связывающая магнитный момент с моментом количества движения;
|
1 |
Оглавление
|