Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 22. Многочастотные системы. РезонансСтандартная форма многочастотной системы получается формальным обобщением стандартной формы одночастотной системы (18.7) в случае периодической правой части. Это обобщение производится следующим образом. Система (18.7) может быть переписана после введения дополнительной переменной
Здесь Стандартная форма многочастотной системы отличается от системы (22.1) тем, что
По всем К виду (22.2) могут быть приведены уравнения многих типов колебательных систем. Рассмотрим пример квазилинейной колебательной системы
Систему (22.3) можно переписать в виде
Выполним в (22.4) замену переменных
В новых переменных система (22.4) примет форму
Обозначим период правых частей по
В этих обозначениях уравнения (22.6) принимают вид стандартной формы (22.2). Если в (22.3) функция Замечание 1. Для квазилинейной системы вектор частот Замечание 2. В системе (22.4) заменой переменных
можно было перейти к стандартной форме одночастотной системы, поскольку использованный в разд. 18 метод вариации произвольных постоянных применим и здесь. Это говорит о том, что понятия Процедура осреднения для многочастотных систем состоит в переходе от системы (22.2) к приближенной системе
где
Функции Уравнения (22.7) значительно проще уравнений (22.2), поскольку уравнения для переменных х отделяются от уравнений для переменных Обоснование точности решений, получаемых из системы (22.7), сводится к сформулированной выше для одночастотных систем теореме Н. Н. Боголюбова, если в системе (22.2) отсутствует резонанс. Если же резонанс имеет место, то переходить к уравнениям (22.7) при помощи формул (22.8) нельзя без потери гарантий точности, даваемых теоремой Н. Н. Боголюбова. Процедура осреднения в резонансном случае рассматривается ниже. Прежде всего необходимо дать определение резонанса и указать, по каким признакам можно устанавливать его наличие в системе (22.2) еще до того, как приступили к ее решению. Дадим для этой цели определение временного среднего функций
Эти выражения представляют собой средние значения правых частей системы (22.2) по времени, вычисленные вдоль траектории вырожденной
Функции (22.9), рассматриваемые как функции Резонансные частоты удовлетворяют соотношениям вида
где Подчеркнем, что резонансным соотношением называется не любое соотношение вида (22.10) с какими угодно целыми а лишь то, которое определяет разрыв функций (22.9). Пример. Найти резонанс в системе, описываемой уравнением Матье Введя обозначения
Заменой переменных
Здесь
Вычисляя его, получим
Таким образом, в рассматриваемой системе имеется единственный резонанс, определяемый резонансным соотношением вида Разрыв временного среднего может происходить, когда вектлр частот
Число таких линейно независимых соотношений называется кратностью резонанса, а сумма модулей коэффициентов линейно независимых соотношений называется порядком резшганса. Главный резонанс в уравнении Матье есть резонанс третьего порядка.
Рис. 11
Рис. 12 На рис. 11, а и б в пространстве частот изображены соответственно резонансные поверхности в случаях однократного и двукратного резонансов. Если мы имеем дело с квазилинейной системой и вектор частот от медленных переменных не зависит, то не зависит от движения системы и наличие или отсутствие в ней резонансов. Если же система существенно нелинейная, то резонансное соотношение
определяет в пространстве медленных переменных х поверхность, (рис. 12), называемую резонансной поверхностью. В этом случае в системе в процессе движения может возникать резонанс при пересечении траекторий резонансной поверхности, после чего вновь исчезать. Рассмотрим эти два случая отдельно. Начнем с квазилинейного случая.
|
1 |
Оглавление
|