22. Многочастотные системы. Резонанс

Стандартная форма многочастотной системы получается формальным обобщением стандартной формы одночастотной системы (18.7) в случае периодической правой части. Это обобщение производится следующим образом. Система (18.7) может быть переписана после введения дополнительной переменной в автономной форме — период функции X):

Здесь — скалярная переменная, изменяющаяся со скоростью . Такая форма записи и определяет смысл введенного ранее понятия одночастотной системы.

Стандартная форма многочастотной системы отличается от системы (22.1) тем, что как и х, уже представляет собой векторную переменную Размерности вектора и вектора х никак не связаны. Кроме того, допускается малая неравномерность в изменении векторной переменной . В результате общий вид стандартной формы многочастотной системы оказывается следующим:

По всем функции периодичны с периодом

К виду (22.2) могут быть приведены уравнения многих типов колебательных систем. Рассмотрим пример квазилинейной колебательной системы

— симметрические положительно определенные матрицы; функция периодична по Линейной заменой переменных в системе (22.3) можно привести матрицу А к единичной, а матрицу В — к диагональной форме (приведение к нормальным координатам). Будем считать, что такое приведение уже выполнено:

Систему (22.3) можно переписать в виде

Выполним в (22.4) замену переменных по формулам

В новых переменных система (22.4) примет форму

Обозначим период правых частей по через и введем вместо переменную по которой функции -периодичны. Введем также обозначения

В этих обозначениях уравнения (22.6) принимают вид стандартной формы (22.2). Если в (22.3) функция зависит от условно периодически (имеется несколько периодов то следует ввести несколько дополнительных переменных

Замечание 1. Для квазилинейной системы вектор частот оказался постоянным, не зависящим от медленных переменных. Независимость является признаком квазилинейности исходной системы (22.3). Случай, в котором зависит от х, называется существенно нелинейным.

Замечание 2. В системе (22.4) заменой переменных формулам

можно было перейти к стандартной форме одночастотной системы, поскольку использованный в разд. 18 метод вариации произвольных постоянных применим и здесь. Это говорит о том, что понятия дно частотна я» и «многочастотная» носят в известной мере условный характер. Любую систему с очевидной «физической» многочастотностью можно записать в математически одночастотной форме. Однако форма записи (22.2) обладает целым рядом преимуществ, в особенности при изучении резонансных явлений, как это будет показано далее.

Процедура осреднения для многочастотных систем состоит в переходе от системы (22.2) к приближенной системе

где

Функции представляют собой средние значения по всем быстрым переменным от правых частей системы (22.2) и носят название пространственных средних.

Уравнения (22.7) значительно проще уравнений (22.2), поскольку уравнения для переменных х отделяются от уравнений для переменных После интегрирования уравнений для х нахождение переменных сводится к квадратурам.

Обоснование точности решений, получаемых из системы (22.7), сводится к сформулированной выше для одночастотных систем теореме Н. Н. Боголюбова, если в системе (22.2) отсутствует резонанс. Если же резонанс имеет место, то переходить к уравнениям (22.7) при помощи формул (22.8) нельзя без потери гарантий точности, даваемых теоремой Н. Н. Боголюбова. Процедура осреднения в резонансном случае рассматривается ниже.

Прежде всего необходимо дать определение резонанса и указать, по каким признакам можно устанавливать его наличие в системе (22.2) еще до того, как приступили к ее решению. Дадим для этой цели определение временного среднего функций

Эти выражения представляют собой средние значения правых частей системы (22.2) по времени, вычисленные вдоль траектории вырожденной системы:

Функции (22.9), рассматриваемые как функции , могут иметь точки разрыва. Те значения частот , при которых функции (22.9) терпят разрыв, и называются резонансными.

Резонансные частоты удовлетворяют соотношениям вида

где — целые числа. Соотношение (22.10) носит название резонансного соотношения в системе (22.2).

Подчеркнем, что резонансным соотношением называется не любое соотношение вида (22.10) с какими угодно целыми а лишь то, которое определяет разрыв функций (22.9).

Пример. Найти резонанс в системе, описываемой уравнением Матье

Введя обозначения перепишем это уравнение в нормальной форме Коши:

Заменой переменных эта система приводится к стандартной форме:

Здесь Временное среднее

Вычисляя его, получим

Таким образом, в рассматриваемой системе имеется единственный резонанс, определяемый резонансным соотношением вида Он носит название главного параметрического резонанса для уравнения Матье.

Разрыв временного среднего может происходить, когда вектлр частот удовлетворяет нескольким линейным соотношениям с целочисленными коэффициентами

Число таких линейно независимых соотношений называется кратностью резонанса, а сумма модулей коэффициентов линейно независимых соотношений называется порядком резшганса. Главный резонанс в уравнении Матье есть резонанс третьего порядка.

Рис. 11

Рис. 12

На рис. 11, а и б в пространстве частот изображены соответственно резонансные поверхности в случаях однократного и двукратного резонансов.

Если мы имеем дело с квазилинейной системой и вектор частот от медленных переменных не зависит, то не зависит от движения системы и наличие или отсутствие в ней резонансов. Если же система существенно нелинейная, то резонансное соотношение

определяет в пространстве медленных переменных х поверхность, (рис. 12), называемую резонансной поверхностью. В этом случае в системе в процессе движения может возникать резонанс при пересечении траекторий резонансной поверхности, после чего вновь исчезать.

Рассмотрим эти два случая отдельно. Начнем с квазилинейного случая.