Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 41. Уравнения, допускающие заданную группуТеория продолжения оператора позволяет иначе сформулировать условие инвариантности дифференциальных уравнений относительно однопараметрической группы преобразований. Пусть имеем дифференциальное уравнение, заданное в плоскости х, у и записанное в неявной форме:
Из результатов предыдущего раздела ясно, что, для того чтобы это уравнение было инвариантным относительно группы с оператором
необходимо и достаточно, чтобы
т. е. уравнение (41.1) должно определять инвариантную поверхность один раз продолженной группы. Покажем эквивалентность этого критерия критерию (38.17). Запишем (38.16) в виде (41.1):
Оператор первого продолжения в соответствии с (40.5) есть
Применим этот оператор к (41.2):
Это соотношение должно быть выполнено при условии (41.2), выражая из (41.2)
или
Напомним, что
Поэтому последнее соотношение имеет вид
откуда
Но это и означает, что координаты коммутатора
Для уравнений более высокого порядка доказанная эквивалентность места не имеет. Рассмотрим уравнение
Условие инвариантности этого уравнения относительно некоторой группы может быть сформулировано в двух различных формах. Во-первых, при помощи введенного понятия продолженного оператора
Это уравнение в частных производных относительно двух искомых функций при всех степенях и произведениях всех производных у. Решение такой системы может зависеть от произвольных функций, и тогда алгебра симметрий уравнения (41.4) бесконечномерна Если решение зависит от конечного числа констант, то эта алгебра конечномерна, решение может и не существовать вовсе, это значит, что симметрий рассматриваемого типа у уравнения (41.4) нет. Во-вторых, уравнение (41.4) можно переписать в виде системы уравнений первого порядка
и воспользоваться для отыскания симметрий критерием (38.17). В этом случае компоненты разыскиваемого оператора уже не связаны условиями продолжения и содержат Симметрии, получаемые из условия (41.5), представляют особый интерес в физике и механике, поэтому и небезынтересна следующая задача. Задача. Задана группа с оператором
Найти общий вид дифференциальных уравнений, инвариантных относительно этой группы. Решение начнем с уравнений первого порядка. Поскольку каждое дифференциальное уравнение, инвариантное относительно группы
должно быть инвариантной поверхностью один раз продолженной группы в пространстве
где В качестве и можно взять инвариант оператора (41.7), и, следовательно, он не зависит от
Пример. Общий вид уравнений, инвариантных относительно группы вращений, таков:
Замечание. Нахождение дифференциального инварианта первого порядка оператора (41.7) приводит к необходимости решать следующую систему:
Если предположить, что простой инвариант известен:
то для нахождения дифференциального инварианта приходится решать уравнение Риккати
Это уравнение разрешается в квадратурах, поскольку можно указать его частное решение
Для уравнений второго порядка
аналогичные рассуждения приводят к следующему выражению для общего вида таких уравнений, инвариантных относительно заданной группы с оператором (41.7):
Пример. Общий вид уравнений второго порядка инвариантных относительно группы вращений таков:
Построение уравнений третьего и высших порядков, инвариантных относительно заданной группы, осуществляется аналогично.
|
1 |
Оглавление
|