41. Уравнения, допускающие заданную группу

Теория продолжения оператора позволяет иначе сформулировать условие инвариантности дифференциальных уравнений относительно однопараметрической группы преобразований.

Пусть имеем дифференциальное уравнение, заданное в плоскости х, у и записанное в неявной форме:

Из результатов предыдущего раздела ясно, что, для того чтобы это уравнение было инвариантным относительно группы с оператором

необходимо и достаточно, чтобы

т. е. уравнение (41.1) должно определять инвариантную поверхность один раз продолженной группы.

Покажем эквивалентность этого критерия критерию (38.17). Запишем (38.16) в виде (41.1):

Оператор первого продолжения в соответствии с (40.5) есть

Применим этот оператор к (41.2):

Это соотношение должно быть выполнено при условии (41.2), выражая из (41.2) и подставляя в (41.3), получаем

или

Напомним, что

Поэтому последнее соотношение имеет вид

откуда

Но это и означает, что координаты коммутатора пропорциональны координатам оператора А, т. е.

Для уравнений более высокого порядка доказанная эквивалентность места не имеет. Рассмотрим уравнение -го порядка в разрешенной относительно старшей производной форме:

Условие инвариантности этого уравнения относительно некоторой группы может быть сформулировано в двух различных формах. Во-первых, при помощи введенного понятия продолженного оператора

Это уравнение в частных производных относительно двух искомых функций распадается на, как правило, переопределенную систему: так как искомые функции не зависят от производных, то необходимо приравнять нулю коэффициенты

при всех степенях и произведениях всех производных у. Решение такой системы может зависеть от произвольных функций, и тогда алгебра симметрий уравнения (41.4) бесконечномерна Если решение зависит от конечного числа констант, то эта алгебра конечномерна, решение может и не существовать вовсе, это значит, что симметрий рассматриваемого типа у уравнения (41.4) нет.

Во-вторых, уравнение (41.4) можно переписать в виде системы уравнений первого порядка

и воспользоваться для отыскания симметрий критерием (38.17). В этом случае компоненты разыскиваемого оператора уже не связаны условиями продолжения и содержат неизвестную функцию. Как показано в разд. 38, алгебра симметрий этого типа всегда бесконечномерна.

Симметрии, получаемые из условия (41.5), представляют особый интерес в физике и механике, поэтому и небезынтересна следующая задача.

Задача. Задана группа с оператором

Найти общий вид дифференциальных уравнений, инвариантных относительно этой группы.

Решение начнем с уравнений первого порядка. Поскольку каждое дифференциальное уравнение, инвариантное относительно группы

должно быть инвариантной поверхностью один раз продолженной группы в пространстве то запись общего вида такой поверхности и будет решением задачи. Если — два независимых инварианта продолженной группы, то общий вид инвариантной поверхности есть

где — приозвольная функция.

В качестве и можно взять инвариант оператора (41.7), и, следовательно, он не зависит от а в качестве и — дифференциальный инвариант. Тогда общий вид дифференциальных уравнений первого порядка инвариантных относительно группы с оператором (41.7) может быть записан так:

— произвольная функция.

Пример. Общий вид уравнений, инвариантных относительно группы вращений, таков:

Замечание. Нахождение дифференциального инварианта первого порядка оператора (41.7) приводит к необходимости решать следующую систему:

Если предположить, что простой инвариант известен:

то для нахождения дифференциального инварианта приходится решать уравнение Риккати

Это уравнение разрешается в квадратурах, поскольку можно указать его частное решение

Для уравнений второго порядка

аналогичные рассуждения приводят к следующему выражению для общего вида таких уравнений, инвариантных относительно заданной группы с оператором (41.7):

— инварианты нулевого, первого и второго порядка; — произвольная функция и Причем дифференциальный инвариант каждого следующего порядка может быть получен дифференцированием инварианта предыдущего порядка по инварианту нулевого порядка. Так,

Пример. Общий вид уравнений второго порядка инвариантных относительно группы вращений таков:

Построение уравнений третьего и высших порядков, инвариантных относительно заданной группы, осуществляется аналогично.