Глава вторя. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ, МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ

Основным методом приближенного аналитического исследования нелинейных колебательных систем с малым параметром является метод осреднения. Большинство других методов, которых в настоящее время известно уже достаточно много, представляют собой либо иную форму изложения метода осреднения (напршмер, метод многих масштабов), либо специально приспособлено к решению каких-то более узких постановок задач, чем это делается в методе осреднения.

Метод осреднения представляет собой не метод решения нелинейных систем дифференциальных уравнений, а метод приведения их к некоторой более простой форме, для которой мы можем поставить любую из тех задач, которую можно поставить для исходной системы.

Подход, связанный не с прямым построением приближенных решений точной системы, а с анализом точных решений приближенной системы, является гораздо более гибким, поскольку содержит первый в качестве частного случая, оставляя возможности качественного анализа, использования ЭВМ для численных решений и тому подобное.

Метод осреднения относится к так называемым локальным методам анализа решений дифференциальных уравнений. Это означает, что предметом изучения является система, в каком-то смысле мало отличающаяся от другой системы, для которой может быть построено общее точное решение.

Если бы поведение решений мало отличающихся систем также мало отличалось друг от друга, то такая постановка была бы малосодержательной. Однако сколь угодно малые возмущения системы могут качественно изменить поведение решений. Установление этих качественных изменений и является наиболее интересной целью приближенного анализа нелинейных систем.

Рассмотрим основные идеи метода осреднения в общей постановке.

18. Одночастотные системы. Первая стандартная форма

Пусть имеется система дифференциальных уравнений

Введем следующие матрицы-столбцы:

Тогда система уравнений (18.1) переписывается в форме

Входящая в функции и переменная указывает на тот факт, что эти функции зависят от совокупности переменных скалярный параметр считается малым и неотрицательным.

Предположим, что вырожденная система, в которую превращается исходная система (18.1) при имеет точное решение

В нем С — совокупность произвольных постоянных интегрирования. Следовательно, для функции имеет место следующее тождество:

Наша задача заключается в построении такой приближенной системы, решения которой с гарантированной точностью представляли бы решения полной, невырожденной, системы (18.1).

Для решения поставленной задачи необходимо предварительно привести исходную систему к специальному виду, называемому стандартной формой. Такое приведение осуществляется заменой переменных по формуле

Дифференцируя соотношение (18.4), получим

где

Подставляя полученные соотношения в систему (18.1) и разрешая ее относительно имеем (если обратима)

Из полученного выражения видно, что если то в силу тождества (18.3) уравнение (18.5) упрощается и записывается в виде

Кроме этого, как видно из полученной системы [уравнений, новые переменные х медленно меняются] с течением времени и данное уравнение, которое обычно записывается в виде

носит название стандартной формы одночастотной системы. Смысл термина «одночастотная» будет объяснен в дальнейшем.

Особенностью системы (18.7) является присутствие множителя перед всей правой частью. Заметим, что к виду (18.7) могут быть приведены любые системы вида (18.1), если только общее решение вырожденной системы известно. Метод приведения носит название метода вариации произвольных постоянных Лагранжа. Этот метод уже был применен в гл. I для приведения линейной системы к нормальной форме Булгакова.

Заметим, что к стандартной форме приводит и любая замена вида

где — произвольная дифференцируемая функция, которую можно выбирать с целью преобразования правой части , чтобы получить систему (18.7) в виде, более удобном для исследования.

Пример. Возьмем осциллятор с кубическим демпфированием, уравнение которого имеет вид

Это уравнение легко переписывается в форме (18.1)

Решение вырожденной системы

определяет замену переменных

Подставляя эти формулы в систему уравнений (18.8), получаем

откуда находим, что

Рис. 6

Это и есть уравнения осциллятора в стандартной форме. Заметим, что исходное уравнение второго порядка можно не приводить к промежуточной системе уравнений первого порядка (18.8), используя сразу замену

Однако при этом необходимо взять в качестве дополнительного условия первое уравнение из (18.10).

Приведение к стандартной форме — первый необходимый этап применения метода осреднения.

Второй этап состоит в замене точной системы (18.7) некоторой приближенной системой уравнений. Эта замена должна удовлетворять двум условиям: гарантировать близость соответствующих решений точной и приближенной систем уравнений; приближенная система должна легче поддаваться математическому анализу.

То упрощение, которое производится в методе осреднения, базируется на следующей идее разделения движений.

Пусть правая часть системы (18.7) периодична по с периодом Т:

Это предположение представляет собой конкретизацию системы; если периодичность по не имеется, то будем полагать Произведем в системе (18.7) замену времени по формуле Тогда система перепишется в виде

Правая часть этой системы также периодична по с периодом т. е. в нее входят периодические функции по изменяющиеся с большой частотой. Типичный вид какого-нибудь частного решения этой системы изображен на рис. 6.

Это решение может быть представлено в виде суммы плавно меняющейся части и называемой эволюцией системы, и быстро-осциллирующей части называемой осцилляцией:

Это не слишком определенное утверждение уточняется, если под эволюцией понимать результат действия на оператора сглаживания:

Для нас наибольший интерес представляет эволюция системы, которая удовлетворяет уравнению

Мы получили точное соотношение. При интегрировании по переменной необходимо учитывать, что X зависит от не только в явной форме, но и благодаря тому, что от зависит х. Однако интервал интегрирования мал и на нем х изменяется мало. Полагая имеем

Или, возвращаясь к исходному времени получаем

где если X является периодической функцией;

если X не является периодической функцией.

В этом и заключается основной прием метода осреднения, известный еще со времен Гаусса, переход от точного уравнения (18.7) к уравнению (18.12) посредством осреднения правой части по явно входящему времени

Пример. Продолжим рассмотрение уравнений осциллятора с кубическим демпфированием (18.8), которые были приведены к стандартной форме (18.11). Осреднение по явно входящему времени приводит к следующим уравнениям для эволюции:

Уравнения (18.13), приближенно заменяющие уравнения (18.11), и представляют собой конечную цель первого приближения метода осреднения.

Как уравнения (18.11), так и уравнения (18.13) являются нелинейными. Однако правые части уравнений (18.13) не зависят явно от времени. Кроме того, они допускают точное интегрирование, а это обстоятельство не является следствием специального вида исходной системы, а представляет собой общий факт, справедливый для любых не линейных автономных систем второго порядка.

В нашем случае уравнения (18.13) легко интегрируются после перехода к полярным координатам:

в которых они приобретают вид

В результате интегрирования получаем, что

Последний, третий этап всей процедуры состоит в возвращении к исходным переменным в силу формул (18.14), (18.9), что дает решение для в явном виде:

Это и есть приближенное решение задачи об осцилляторе с кубическим демпфированием. Приближение состоит в том, что мы отождествили переменные удовлетворяющие точным уравнениям (18.10) с переменными , удовлетворяющими приближенным уравнениям (18.13).