6. Общий случай собственных движений линейной системы

Обратимся теперь к случаю, когда характеристическое уравнение матрицы имеет кратные корни, причем соответствующие им элементарные делители могут быть или линейными, или нелинейными.

Пусть характеристическое уравнение имеет -кратный корень: Образуем матриц

Воздействуя оператором на находим

Так как то, полагая в соотношениях получаем

Очевидно, что соотношения (6.3) сохраняют силу, если вместо матриц взять их какие-либо столбцы. Таким образом, столбцы этих матриц представляют частные решения матричного дифференциального уравнения (5.2). Решением этого уравнения будет также сумма

где — линейно независимые столбцы матриц - произвольные постоянные.

Указанная процедура может быть проведена для любого корня характеристического уравнения, поэтому рассмотренным способом находится требуемое число линейно независимых частных решений, равное степени характеристического уравнения.

Перепишем теперь соотношения (6.1) в виде

где

Каждому корню соответствует решение

где — линейно независимые столбцы матриц или их линейные комбинации. Столбцы как и в случае простых корней, называются модальными столбцами.

В рассматриваемом случае старший детерминантный делитель Пусть старший инвариантный множитель Из формулы (4.3) находим, что откуда следует, что все при они обращаются в нуль с производными до порядка. Поэтому первые ненулевые матрицы появляются при где

Среди различных комбинаций можно выделить три случая.

1) Пусть тогда Этот случай был рассмотрен в разд. 5.

2) Пусть тогда Из формул (6.5) видно, что для образования модальных столбцов имеется единственная ненулевая матрица с постоянными элементами, вследствие чего и все модальные столбцы будут также постоянными. Этот случай также был рассмотрен в разд. 5.

3) Пусть тогда формулах (6.5) имеются отличные от нуля члены поэтому часть модальных столбцов будет полиномами времени

Пример. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Соответствующая матрица

имеет характеристическое уравнение

с корнями Так как то инвариантный множитель имеет нелинейные элементарные делители

Вычисляя присоединенную матрицу и ее производную по находим

В соответствии с формулами (6.5) получаем

Для корней берем модальные столбцы

для корней — модальные столбцы

Теперь выписываем общее решение в виде

откуда