4. Полиномиальные матрицы

Матричный полином от скалярной переменной , имеющий вид

носит название полиномиальной матрицы, так как ее элементы представляют собой скалярные полиномы от :

Под производной от матрицы по понимается матрица, элементы которой равны производным от элементов матрицы по :

Рангом полиномиальный матрицы называется порядок ее старших не обращающих тождественно в нуль миноров. Если вместо X подставить какое-нибудь число, то мы получим числовую матрицу ранга причем Полиномиальная матрица, ранг которой равен ее порядку, называется неособой; если ранг матрицы меньше ее порядка, то матрица называется особой.

Общий наибольший делитель всех миноров порядка полиномиальной матрицы называется детерминантным делителем (для определенности коэффициент старшей степени X в приводится к единице).

Возьмем любой из миноров порядка полиномиальной матрицы и разложим его по элементам какой-либо строки или столбца. Каждый член разложения делится на , так как он содержит множителем минор порядка. Следовательно, любой минор порядка делится на поэтому и делится на , так что частное

представляет собой полином, коэффициент старшего члена которого равен единице. Полиномы называются инвариантными множителями. Если положить условно то определяются для всех А: от 1 до Перемножая соотношения (4.3), имеем

Можно показать, что делится на

Рассмотрим неособую матрицу Ее старший детерминантный делитель отличается от определителя матрицы лишь постоянным множителем, поэтому не равен нулю тождественно. Если — различные между собой корни , то

Так как в соответствии с (4.4)

то, сравнивая между собой (4.5) и (4.6), находим

причем

Множители , у которых носят название элементарных делителей, соответствующих корню а. Каждому инвариантному множителю и корню а соответствует свой элементарный делитель. Поэтому, например, если даже тем не менее элементарные делители считаются различными. Сумма степеней элементарных делителей, соответствующих корню а, равна, очевидно, его кратности:

Аналогично определяются элементарные делители для других корней.

Пример. Пусть

Детерминантные делители этой матрицы имеют следующий вид:

Отсюда по формуле (4.3) находим инвариантные множители и элементарные делители:

Все элементарные делители в рассмотренном примере линейны.

Рассмотрим теперь вопрос о соотношении между рангом неособой полиномиальной матрицы и рангом соответствующей числовой матрице , когда скаляр к полагается равным некоторому числу а. Очевидно, что Если а не является корнем то

Пусть теперь поэтому Все детерминантные делители содержат в себе множители , причем в них 1, в детерминантные делители порядка и ниже эти множители не входят. Поэтому множители вида входят только в инвариантные множители а в инвариантные множители не входят. Отсюда следует, что ранги матриц и число элементарных делителей, соответствующих корню а, связаны соотношением

Число равно дефекту матрицы

Из формул (4.4)-(4.8) видно, что

так любое из чисел больше или равно единице. Точное равенство имеет место лишь при когда все элементарные делители, соответствующие корню а, линейны.