4. Полиномиальные матрицы
Матричный полином от скалярной переменной
, имеющий вид
носит название полиномиальной матрицы, так как ее элементы представляют собой скалярные полиномы от
:
Под производной от матрицы
по
понимается матрица, элементы которой равны производным от элементов матрицы
по
:
Рангом
полиномиальный матрицы называется порядок ее старших не обращающих тождественно в нуль миноров. Если вместо X подставить какое-нибудь число, то мы получим числовую матрицу ранга
причем
Полиномиальная матрица, ранг которой равен ее порядку, называется неособой; если ранг матрицы меньше ее порядка, то матрица называется особой.
Общий наибольший делитель
всех миноров
порядка полиномиальной матрицы называется детерминантным делителем (для определенности коэффициент старшей степени X в
приводится к единице).
Возьмем любой из миноров
порядка полиномиальной матрицы и разложим его по элементам какой-либо строки или столбца. Каждый член разложения делится на
, так как он содержит множителем минор
порядка. Следовательно, любой минор
порядка делится на
поэтому и
делится на
, так что частное
представляет собой полином, коэффициент старшего члена которого равен единице. Полиномы
называются инвариантными множителями. Если положить условно
то
определяются для всех А: от 1 до
Перемножая соотношения (4.3), имеем
Можно показать, что
делится на
Рассмотрим неособую матрицу
Ее старший детерминантный делитель
отличается от определителя матрицы
лишь постоянным множителем, поэтому
не равен нулю тождественно. Если
— различные между собой корни
, то
Так как в соответствии с (4.4)
то, сравнивая между собой (4.5) и (4.6), находим
причем
Множители
, у которых
носят название элементарных делителей, соответствующих корню а. Каждому инвариантному множителю и корню а соответствует свой элементарный делитель. Поэтому, например, если даже
тем не менее элементарные делители
считаются различными. Сумма степеней элементарных делителей, соответствующих корню а, равна, очевидно, его кратности:
Аналогично определяются элементарные делители для других корней.
Пример. Пусть
Детерминантные делители этой матрицы имеют следующий вид:
Отсюда по формуле (4.3) находим инвариантные множители и элементарные делители:
Все элементарные делители в рассмотренном примере линейны.
Рассмотрим теперь вопрос о соотношении между рангом
неособой полиномиальной матрицы
и рангом
соответствующей числовой матрице
, когда скаляр к полагается равным некоторому числу а. Очевидно, что
Если а не является корнем
то
Пусть теперь
поэтому
Все детерминантные делители
содержат в себе множители
, причем в них 1, в детерминантные делители порядка
и ниже эти множители не входят. Поэтому множители вида
входят только в инвариантные множители
а в инвариантные множители
не входят. Отсюда следует, что ранги
матриц
и число
элементарных делителей, соответствующих корню а, связаны соотношением
Число
равно дефекту матрицы
Из формул (4.4)-(4.8) видно, что
так любое из чисел
больше или равно единице. Точное равенство
имеет место лишь при
когда все элементарные делители, соответствующие корню а, линейны.