8. Список правил построения общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений

В этом разделе в требуемой последовательности собраны формулы, по которым строится общее решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений, и указаны операции, которые требуется выполнить.

Для заданной системы дифференциальных уравнений (5.4)

выписывается матрица, элементы которой равны полиномам при

Для матрицы находятся корни характеристического уравнения

В приводимых в этом разделе формулах действительные корни обозначены через комплексные корни через

общее число корней

Если у характеристического уравнения есть кратные корни, то для матрицы вычисляется детерминантный делитель (общий наибольший делитель миноров порядка) и по формуле

соответствующий инвариантный множитель.

Инвариантный множитель разлагается на элементарные делители типа

Вычисляется присоединенная к матрица по

следующему правилу: на место каждого элемента матрицы ставится его алгебраическое дополнение. После транспонирования составленной таким образом матрицы получается присоединенная матрица

Для корня кратности составляются матрицы

При этом принимается во внимание, что матрицы обращаются со своими производными в нуль до производных порядка, где есть степень старшего элементарного делителя, соответствующего корню

Из матриц выбираются линейно независимых модальных столбцов Указанная процедура повторяется для всех корней

Для действительных корней модальные столбцы принимаются в качестве собственных модальных столбцов:

Для комплексных корней собственные модальные столбцы определяются по формуле (7.1)

поэтому для них достаточно вычислить лишь модальные столбцы соответствующие корню

Составляются матриц-столбцов по формулам

Выписывается общее решение рассматриваемой системы

где — произвольные постоянные.

Из матричного соотношения (7.11) выписывается общее решение для переменных