3. Матрицы Кейли

Для матриц

имеют место такие же соотношения

как для действительной и мнимой единиц 1, и Матрица Е носит название единичной матрицы, матрица I — симплектической единицы. Перемножая матрицы

получаем

Итак, если образовать две матрицы (3.2) из действительных и мнимых частей чисел то после перемножения получится матрица того же вида, образованная из действительной и мнимой частей произведения

В дальнейшем мы будем использовать матрицы Кейли вида

Они принадлежат к разряду квазидиагональных блочных матриц. Если у диагональной матрицы по главной диагонали расположены некоторые числа, а все остальные элементы — нули, то у квазидиагональной матрицы по главной диагонали расположены квадратные матрицы, а все остальные элементы — нулевые матрицы. При этом матрицы, расположенные на главной диагонали, могут иметь как одинаковый, так и различный порядок.

Введем матрицу

которая имеет тот же тип и размерность, что и матрица . Произведение

показывает, что перемножаются, а комбинируются как действительные и мнимые части комплексных чисел. Это правило справедливо при возведении матрицы в целую неотрицательную степень

Если то можно построить обратную матрицу

Поэтому формула (3.5) справедлива и для целых отрицательных Отсюда видно, что для полинома с действительными скалярными коэффициентами справедлива формула

Обобщением полиномиальной матрицы со скалярными коэффициентами являются матричные ряды со скалярными

коэффициентами, посредством которых могут быть определены функции

Для дальнейшего изложения представляют интерес частные случаи, когда матрицы являются диагональными:

Пусть Для матричного ряда, определяемого матрицей Кейли в соответствии с формулами (3.3), (3.5) и (3.8) имеем

Элементы матрицы с учетом соотношений (1.11) и (3.12) записываются в следующей форме:

Для дальнейшего нам полезно установить некоторые свойства матриц Кейли с диагональными матрицами . Произведение

переписывается с помощью блочных матриц в виде

откуда

Записывая матрицы в виде блочных матриц

где элементы представляют собой матрицы-строки размерностью , и учитывая, что — диагональные матрицы, находим

Умножая на и вычитая из переписываем два последних соотношения в форме

Аналогичным образом произведение

переписывается с помощью блочных матриц в виде

откуда

Записывая матрицы в виде блочных матриц

где элементы представляют собой матрицы, столбцы размерностью , и учитывая, что — диагональные матрицы, находим

Умножая на и складывая с переписываем два последних соотношения в форме