Глава третья. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ

31. Понятие группы

Пусть обозначает множество элементов произвольной природы (множество чисел, или функций, или каких-нибудь объектов геометрической природы и т. Множество называется группой если:

1) На множестве определена операция, которая любым двум элементам из и взятым в определенном порядке, ставит в соответствие единственный элемент . Будем называть условно эту операцию умножением и записывать ее так:

Операция, вообще говоря, некоммутативна, т. е. , что и определяет понятие порядка выбора элементов в произведении.

2) Существует элемент что для любого имеет место Этот элемент называется единицей группы.

3) Для любого А ее существует элемент А такой, что:

Этот элемент называется обратным.

4) Имеет место ассоциативность операции

Замечание. Из приведенных условий следует, что единица единственна и обратный элемент для каждого выбранного тоже единственный.

Примеры групп.

1. Множество всех рациональных чисел без нуля.

Операция — умножение.

2. Множество всех векторов на плоскости. Операция — сложение.

3. Любое конечное число элементов с операцией, задаваемой таблицей Кэли (в примере 5 элементов):

4. Множество всех точек, лежащих на окружности.

Операция: точке А, положение которой на окружности

Рис. 37

определяется углом и точке В с углом ставится в соответствие точка С, положение которой определяется суммой углов

5. Множество матриц с неравным нулю определителем. Операция — матричное умножение.

6. Множество матриц Кейли, определяемое формулой (3.2). Операция — матричное произведение.

В примерах 1—4. 6 операции коммутативны, в примере 5 — нет. Примеры не групп, когда определенная на множестве операция не удовлетворяет каким-то из свойств 2—4.

1. Множество целых чисел. Операция — умножение.

2. Множество векторов в трехмерном пространстве. Операция — векторное произведение.