Глава третья. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
31. Понятие группы
Пусть
обозначает множество элементов произвольной природы (множество чисел, или функций, или каких-нибудь объектов геометрической природы и т.
Множество
называется группой если:
1) На множестве
определена операция, которая любым двум элементам из
и
взятым в определенном порядке, ставит в соответствие единственный элемент
. Будем называть условно эту операцию умножением и записывать ее так:
Операция, вообще говоря, некоммутативна, т. е.
, что и определяет понятие порядка выбора элементов в произведении.
2) Существует элемент
что для любого
имеет место
Этот элемент называется единицей группы.
3) Для любого А ее
существует элемент А такой, что:
Этот элемент называется обратным.
4) Имеет место ассоциативность операции
Замечание. Из приведенных условий следует, что единица единственна и обратный элемент для каждого выбранного тоже единственный.
Примеры групп.
1. Множество всех рациональных чисел без нуля.
Операция — умножение.
2. Множество всех векторов на плоскости. Операция — сложение.
3. Любое конечное число элементов с операцией, задаваемой таблицей Кэли (в примере 5 элементов):
4. Множество всех точек, лежащих на окружности.
Операция: точке А, положение которой на окружности
Рис. 37
определяется углом
и точке В с углом
ставится в соответствие точка С, положение которой определяется суммой углов
5. Множество матриц
с неравным нулю определителем. Операция — матричное умножение.
6. Множество матриц Кейли, определяемое формулой (3.2). Операция — матричное произведение.
В примерах 1—4. 6 операции коммутативны, в примере 5 — нет. Примеры не групп, когда определенная на множестве операция не удовлетворяет каким-то из свойств 2—4.
1. Множество целых чисел. Операция — умножение.
2. Множество векторов в трехмерном пространстве. Операция — векторное произведение.