48. Метод нормальной формы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с аналитическими в окрестности нуля правыми частями:

где — комплексные переменные.

Будем полагать, что правые части в нуле обращаются в нуль, т. е. Записанная в виде рядов по степеням переменных, эта система имеет вид

Суммирование ведется по всем положительным целочисленным удовлетворяющим условию . Число называется порядком нелинейного члена

Ставится задача найти такую аналитическую замену переменных чтобы обратить в нуль максимально возможное число коэффициентов и вплоть до любого заданного порядка о включительно.

Тот вид системы, который при этом получается, и называется нормальной формой системы до порядка а включительно.

Приведение к нормальной форме можно осуществить последовательно, начиная с линейной части. После упрощения линейной части приступают к упрощению членов второго порядка, затем упрощают члены третьего порядка и так далее вплоть до заданного.

Задача упрощения линейной части хорошо известна: линейным преобразованием она приводится к жордановой форме, в которой матрица линейной части имеет отличными от нуля лишь две диагонали — главную, на которой стоят элементы, называемые собственными числами, и ближайшую к ней, на которой стоят либо нули, либо единицы. Будем считать, что система (48.2) уже упрощена по линейным членам (решение этой задачи для более общего вида систем приведено в гл. I). Кроме того, примем вначале, что жорданова форма чисто диагональная:

Суть применяемой процедуры нормализации полностью и во всех деталях выясняется при рассмотрении одного-единственного

нелинейного члена в одном уравнении из уравнений системы

— фиксированы.

Так получается потому, что преобразование, изменяющее этот член, можно выбрать так, чтобы оно не меняло никаких членов низшего порядка, а также никаких других членов этого же порядка. Данное преобразование имеет вид:

т. е. нелинейный член в преобразовании берется того же вида. Коэффициент подлежит определению.

У преобразования (48.5), есть обратное:

Точками обозначены члены более высокого порядка. Если нас интересует выполнение лишь одного шага, т. е. устранение рассматриваемого члена, и появление при этом членов более высокого порядка нас уже не интересует, то в (48.6) достаточно ограничиться выписанными членами. Если же мы предполагаем продолжать процедуру дальше, то преобразование (48.5) следует обращать с более высокой точностью.

Дифференцируя (48.6), найдем

Подставляя сюда из (48.4), находим

Подставляя теперь вместо окончательно получаем

Для того чтобы устранить рассматриваемой нелинейный член, следует выбрать из условия

Это возможно, если

Нелинейный член в уравнении, у которого показатели таковы, что

называется резонансным. Резонансные члены не могут быть уничтожены заменами (48.5), они вообще не изменяются при таких заменах.

Устранение нелинейных членов одного порядка в общем случае (48.3) осуществляется для каждого члена независимо от других:

суммирование распространено на все рассматриваемого порядка Все нелинейные члены этого порядка в (48.9) те же, что и в (48.3). Остается в силе и формула

После устранения нерезонансных членов в рассматриваемом порядке можно перейти к устранению нерезонансных членов следующего порядка.

Таким образом, нормальная форма — это форма, в которой в разложении правых частей по степеням переменных присутствуют лишь резонансные члены. Если резонансных соотношений типа (48.8) для всех членов нет, то с точностью до членов более высокого порядка малости аналитическим преобразованием (48.9) система (48.3) приводится к линейной.

Рассмотрим теперь случай недиагональной жордановой формы. И пусть для простоты имеется только одна жорданова клетка, соответствующая двукратному корню

Рассматривается присутствие одного нелинейного члена в первом уравнении. Из последующего будет ясно, как поступать в общем случае.

Рассматривается замена, аналогичная (48.5):

Поступая аналогично случаю простых корней, находим

По-прежнему в нерезонансном случае, т. е. когда

можно устранить однако появляется новый член того же порядка:

Если условие (48.12) выполнено, то этот член тоже нерезонансный, так как и он может быть устранен еще одним аналогичным преобразованием. При этом появится новый член (тоже нерезонансный) того же порядка:

Повторив процесс нужное число раз, получаем член вида

который устраняется без появления новых членов того же порядка.

Рассмотрение случая произвольного набора жордановых блоков уже не представляет труда. При применении этой процедуры на практике все указанные элементарные преобразования выполняются одновременно.

Нами доказана (с указанием конструктивной процедуры приведения к нормальной форме)

теорема Пуанкаре—Дюлака. При помощи аналитической замены переменных система (48.2) приводима в любом конечном порядке к виду, в котором все нелинейные члены резонансны.

Пример. Уравнения второго порядка с нелинейностью пятой степени:

Приводим линейную часть к нормальной форме. Для чего замечаем, что оператор системы имеет вид

где — линейная часть оператора. Функции

являются собственными функциями оператора

где — собственные числа.

Выберем эти функции в качестве новых переменных. Тогда (см. разд 37)

Таким образом, уравнения в форме (48.3) получаются такими:

Уравнение для сопряженной переменной является сопряженным к написанному, поэтому его можно не приводить.

Определим в этом уравнении резонансные члены:

Таким образом, в уравнении единственный резонансный член Следовательно, подходящей заменой написанное уравнение приводится к виду

Это и есть нормальная форма исходной системы с точностью до членов шестого порядка. Выделенную нелинейную часть можно еще записать и так:

Так как — инвариант оператора, соответствующего этой системе, равный квадрату амплитуды то решение этого уравнения имеет вид

Следовательно, частота колебаний рассматриваемого осциллятора зависит от амплитуды колебаний так:

Если нас интересует замена, связывающая у с то ее в соответствии с (48.5) надо для устранения нерезонансных членов брать в виде

В формуле (48.10) коэффициенты в рассматриваемой задаче равны

Поэтому вычисление по этой формуле с учетом (48.13) дает