Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 48. Метод нормальной формыРассмотрим систему дифференциальных уравнений с аналитическими в окрестности нуля правыми частями:
где Будем полагать, что правые части в нуле обращаются в нуль, т. е.
Суммирование ведется по всем положительным целочисленным Ставится задача найти такую аналитическую замену переменных Тот вид системы, который при этом получается, и называется нормальной формой системы до порядка а включительно. Приведение к нормальной форме можно осуществить последовательно, начиная с линейной части. После упрощения линейной части приступают к упрощению членов второго порядка, затем упрощают члены третьего порядка и так далее вплоть до заданного. Задача упрощения линейной части хорошо известна: линейным преобразованием она приводится к жордановой форме, в которой матрица линейной части имеет отличными от нуля лишь две диагонали — главную, на которой стоят элементы, называемые собственными числами, и ближайшую к ней, на которой стоят либо нули, либо единицы. Будем считать, что система (48.2) уже упрощена по линейным членам (решение этой задачи для более общего вида систем приведено в гл. I). Кроме того, примем вначале, что жорданова форма чисто диагональная:
Суть применяемой процедуры нормализации полностью и во всех деталях выясняется при рассмотрении одного-единственного нелинейного члена в одном уравнении из
Так получается потому, что преобразование, изменяющее этот член, можно выбрать так, чтобы оно не меняло никаких членов низшего порядка, а также никаких других членов этого же порядка. Данное преобразование имеет вид:
т. е. нелинейный член в преобразовании берется того же вида. Коэффициент У преобразования (48.5), есть обратное:
Точками обозначены члены более высокого порядка. Если нас интересует выполнение лишь одного шага, т. е. устранение рассматриваемого члена, и появление при этом членов более высокого порядка нас уже не интересует, то в (48.6) достаточно ограничиться выписанными членами. Если же мы предполагаем продолжать процедуру дальше, то преобразование (48.5) следует обращать с более высокой точностью. Дифференцируя (48.6), найдем
Подставляя сюда
Подставляя теперь вместо
Для того чтобы устранить рассматриваемой нелинейный член, следует
Это возможно, если Нелинейный член в
называется резонансным. Резонансные члены не могут быть уничтожены заменами (48.5), они вообще не изменяются при таких заменах. Устранение нелинейных членов одного порядка в общем случае (48.3) осуществляется для каждого члена независимо от других:
суммирование распространено на все
После устранения нерезонансных членов в рассматриваемом порядке можно перейти к устранению нерезонансных членов следующего порядка. Таким образом, нормальная форма — это форма, в которой в разложении правых частей по степеням переменных присутствуют лишь резонансные члены. Если резонансных соотношений типа (48.8) для всех членов Рассмотрим теперь случай недиагональной жордановой формы. И пусть для простоты имеется только одна жорданова клетка, соответствующая двукратному корню
Рассматривается присутствие одного нелинейного члена в первом уравнении. Из последующего будет ясно, как поступать в общем случае. Рассматривается замена, аналогичная (48.5):
Поступая аналогично случаю простых корней, находим
По-прежнему в нерезонансном случае, т. е. когда
можно устранить
Если условие (48.12) выполнено, то этот член тоже нерезонансный, так как
Повторив процесс нужное число раз, получаем член вида
который устраняется без появления новых членов того же порядка. Рассмотрение случая произвольного набора жордановых блоков уже не представляет труда. При применении этой процедуры на практике все указанные элементарные преобразования выполняются одновременно. Нами доказана (с указанием конструктивной процедуры приведения к нормальной форме) теорема Пуанкаре—Дюлака. При помощи аналитической замены переменных Пример. Уравнения второго порядка с нелинейностью пятой степени:
Приводим линейную часть к нормальной форме. Для чего замечаем, что оператор системы имеет вид
где
являются собственными функциями оператора
где Выберем эти функции в качестве новых переменных. Тогда (см. разд 37)
Таким образом, уравнения в форме (48.3) получаются такими:
Уравнение для сопряженной переменной является сопряженным к написанному, поэтому его можно не приводить. Определим в этом уравнении резонансные члены:
Таким образом, в уравнении единственный резонансный член
Это и есть нормальная форма исходной системы с точностью до членов шестого порядка. Выделенную нелинейную часть можно еще записать и так:
Так как
Следовательно, частота колебаний рассматриваемого осциллятора зависит от амплитуды колебаний так:
Если нас интересует замена, связывающая у с
В формуле (48.10) коэффициенты Поэтому вычисление по этой формуле с учетом (48.13) дает
|
1 |
Оглавление
|