49. Применение одночленных групп к построению нормальной формы

При построении нормальной формы возникает необходимость в обращении нормализующей замены переменных. В разд. 46 и 47 было показано, как применение группового подхода позволяет избавиться от этой процедуры в методе осреднения и этим существенно упростить алгоритм построения высших приближений. Такой же прием может быть применен и при построении нормальной формы. Начнем рассмотрение с квазилинейных систем:

где — малый параметр.

Общий случай рассматривается в конце раздела.

Сразу же подчеркнем, что ограничение класса систем приводит к расширению возможностей. Например, построение нормальной формы с устраненными нерезонансными членами во всех порядках требует бесконечного числа приближений. В случае же, когда в системе присутствует малый параметр, как в (49.1), построение нормальной формы сразу во всех порядках достигается одним приближением, если эта нормальная форма интересна с точностью до двумя приближениями, если до Иными словами, если в системе без малого параметра любое конечное число приближений метода нормальной формы связано с изучением движений в малой окрестности нуля, то в системе с малым параметром уже можно изучать конечные изменения переменных.

Система (49.1) порождает одночленную группу Ли преобразований фазового пространства в себя с оператором

Рассмотрим группу преобразований с оператором

и с каноническим параметром .

В соответствии с формулой Хаусдорфа (см. разд. 38) оператор преобразованной системы имеет в новых переменных вид

Здесь в операторе А (49.2) вместо переменных у формально пишутся переменные

Условимся следующих обозначениях:

— есть операторы, отличающиеся от соответствующих им точных операторов величинами более высокого порядка малости, чем Операторы называются асимптотиками операторов Таким образом

В представленном виде системы (49.2) все асимптотики, начиная с совпадают с А. Этот частный случай совсем не является обязательным, допускается и более сложная зависимость . Заметим еще, что асимптотики могут содержать так называемые недостоверные члены более высокого порядка малости, чем Формула Хаусдорфа, так же как и в разд. 46, может быть переписана для асимптотик операторов (после обычного отождествления

Воспользовавшись уже примененным в разд. 46 приемом (46.9), эти соотношения можно переписать в более удобной форме:

где оператор зависит лишь от младших по сравнению с асимптотик искомого оператора

Введем обозначения: совокупность резонансных членов в выражени и для во всех порядках, т. е. всех таких членов, для которых Соответственно — совокупность нерезонансных членов.

Решение системы (49.6) осуществляем следующим образом. Выберем

тогда оператор найдется из условия

Подставляем найденный оператор в формулу для оператора после чего выбираем

что позволяет получить уравнение для нахождения

и т. д. Общий результат записывается следующим образом:

Первое из этих соотношений определяет нормальную форму рассматриваемой системы во всех порядках по переменным с точностью до членов порядка Второе соотношение определяет ту асимптотику оператора, которая нужна для построения следующего приближения нормальной формы.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как решается относительно искомого оператора уравнение

Уравнение такого типа в методе нормальной формы называется гомологическим.

Пусть оператор получен в виде

Здесь суммирование осуществляется по всем положительным целым таким, что Ищем

В (49.11) в суммах присутствуют такие же нелинейные члены, как и в (49.10), за исключением резонансных. Вычислим коммутатор:

Таким образом, вычисление коммутатора состоит в умножении каждого нелинейного члена в компоненте оператора (49.10) на коэффициент . Следовательно, коэффициенты определяющие оператор (49.11), получаются в виде

Нормализующее преобразование, приводящее оператор А к виду имеет вид

Таким образом, построение нормальной формы и нормализующего преобразования в произвольном приближении по сводится к повторению одной и той же процедуры по трем формулам (49.7) и (49.8).

Рассмотрим теперь некоторые общие свойства нормальной формы.

Вычисление коммутатора оператора линейной системы с каким угодно произвольным оператором производится по формуле (49.12). Если при этом окажется, что все множители

т. е. оператор М содержит лишь резонансные относительно оператора члены, то этот коммутатор оказывается равным нулю.

По построению нормальная форма только резонансные члены и содержит. Это означает, что

Таким образом, постановка задачи о приведении к нормальной форме также соответствует задаче теории возмущений, сформулированной в разд. 46: требуется так преобразовать нелинейную систему, чтобы в преобразованном виде она была инвариантной

относительно группы, порождаемой линейной частью этой системы. Для систем такого вида имеет место принцип суперпозиции решений, доказанный в разд. 39, в силу которого для построения решения нормальной формы достаточно построить отдельно решение ее линейной части, после чего вместо постоянных интегрирования подставить решение системы, полученное отбрасыванием линейной части. Свойство коммутирования оператора нормальной формы с оператором ее линейной части можно использовать для понижения порядка системы в нормальной форме, для чего в нормальной форме достаточно перейти к каноническим координатам группы, порождаемой линейной частью (см. разд. 38). Таким образом, доказано свойство: нормальная форма всегда может быть понижена в порядке.

Если рассматривается механическая система, линейная часть которой соответствует системе, изученной в разд. 17, то все корни являются чисто мнимыми и попарно сопряженными: (порядок системы четный ). Величина — называется собственной частотой Систему (48.3) в этом случае перепишем в виде

Условие (48.8), выделяющее резонансные члены для системы (49.15), запишется в виде

или

Если собственные частоты рационально несоизмеримы, т. е. если

ни для каких целых, не всех равных нулю то из (49.16) следует

Это означает, что резонансными в этом случае в системе (49.15 могут быть только члены вида

Таким образом, нормальная форма системы (49.15) получается такой:

Такая система допускает понижение размерности в два раза пере ходом к переменным

в которых уравнении, очевидно, не будут зависеть от Если в системе имеется независимых резонансных соотношений между частотами:

то порядок системы в нормальной форме может быть понижен до числа

Сравнение метода нормальной формы с методом осреднения.

Прежде всего заметим, что сравнение двух методов имеет смысл для того класса систем, к которому применимы оба метода. Таким классом являются квазилинейные, полиномиальные системы. Цель применения обоих методов к этим системам одинаковая: привести их к виду, в котором линейная часть системы коммутирует с нелинейной (нормализующее преобразование), что в канонических координатах группы, порождаемой линейной частью, приводит к понижению порядка. Как следует из вышеизложенного (в этом разделе и в разд. 47, 48), в методе осреднения вначале переходят к каноническим координатам, а потом разыскивают нормализующее преобразование. В методе нормальной формы наоборот: вначале делается нормализующее преобразование, а затем переходят к каноническим координатам. В обоих случаях окончательный результат одинаков. Процедуры тем не менее разные. Одна может быть удобнее другой в конкретных задачах.

Поскольку процедуры разные, то это, в частности, проявляется в том, что классы систем, на которых применимы эти процедуры, не совпадают. Например, для метода нормальной формы не обязательно присутствие малого параметра, с другой стороны, метод осреднения применим к системам с неполиномиальными правыми частями. Правые части могут быть даже разрывными или обладать какой-то более сложной природой: с запаздывающим аргументом, интегродифференциальной и т. д.

Пример. Найти вторую зону неустойчивости уравнения Матье:

здесь А — малая величина порядка характеризующая отстройку от резонанса, определяющего вторую зону неустойчивости. Этот пример интересен по двум причинам. Во-первых, в разд. 22 эта задача уже решена методом осреднения. Это позволит сравнить обе процедуры. Во-вторых, до сих пор метод нормальной формы применялся к автономным системам. Этот пример

продемонстрирует один из подходов к применению метода нормальной формы к системам с периодическими коэффициентами. Перепишем уравнение Матье в виде следующей системы:

Приведение к полиномиальной форме здесь достигнуто ценой увеличения размерности системы вдвое. Как и в разд. 47, такое увеличение размерности является фиктивным: два последних уравнения преобразованиям не подвергаются, они оказываются всегда независимыми от первых двух уравнений и из окончательного результата переменные выпадают.

Как и в примере, приведенном в разд. 48, используем следующие комплексные переменные:

В этих переменных система переписывается в виде

Сопряженным переменным соответствуют сопряженные уравнения. Операторы:

Здесь и везде ниже точками обозначены вторые половины операторов, соответствующие сопряженным переменным

Рассмотрим первое приближение метода. Замена переменных переводит оператор

Резонансная часть оператора

Нерезонансная часть оператора

По формулам (49.13) находим

Второе приближение:

Поскольку

то последнее соотношение можно переписать в виде

Так как нас интересует лишь второе приближение нормальной формы, то мы не будем разыскивать

Последний коммутатор в предыдущем выражении для резонансных членов не содержит, поскольку их не содержит оператор

Приведем коммутатор полностью:

Резонансными членами здесь являются только

Поэтому

Следовательно, имеет окончательно вид

Таким образом, нормальная форма уравнения Матье с точностью до членов третьего порядка малости равна

Воспользуемся теперь принципом суперпозиции и выпишем эквивалентную с точки зрения устойчивости систему (отбрасываются члены, соответствующие оператору порождающему группу симметрий нормальной формы):

Поскольку нас интересует решение по переменной имеющее модуль, равный единице, то положим Это дает

Граница области устойчивости определяется из уравнения

откуда

или, разрешая относительно А:

что совпадает с результатом, найденным ранее методом осреднения.

Обобщения. Изложенный алгоритм легко распространяется на общую процедуру метода нормальной формы, т. е. без предположения о присутствии в ней малого параметра. Перепишем систему (48.3) в виде

через а здесь обозначен порядок нелинейных членов

Таким образом, в первой сумме собраны лишь члены второй степени, т. е. однородная квадратичная форма, во второй сумме — только члены третьей степени и т. д. Перепишем эту систему еще раз, введя параметр

В этом виде можно пользоваться формулой Хаусдорфа для асимптотик, записанной в форме (49.6). Справедливыми остаются и все последующие соотношения (49.7), (49.8) и (49.14). В окончательных результатах берется что приводит к обычной нормальной форме и обычному нормализующему преобразованию. Все вопросы сходимости также трактуются обычным образом. Например, при построении нормальной формы до какого-то конечного порядка никакой проблемы сходимости нет.

Обобщение изложенного алгоритма на случай недиагональной жордановой формы линейной части системы для механики интереса не представляет, поскольку линейные консервативные системы всегда имеют диагональную жорданову форму (см. разд. 17). Тем не менее алгоритм применим и в этом случае. Все остается без изменения, за исключением формулы (49.11), представляющей вид разыскиваемого оператора в гомологическом уравнении (49.9) и решение этого уравнения в виде формулы (49.13). В случае недиагональной жордановой формы к выписанным членам в операторе (49.11) следует добавить члены, получаемые сдвигом показателей степеней вправо так, как это было продемонстрировано в разд. 48 при доказательстве теоремы Пуанкаре—Дюлака.