47. Многочастотные системы

Уравнения движения существенно нелинейной многочастотной системы запишем в следующей стандартной форме (см. разд. 22):

где — малый параметр; правые части -периодичны по всем и аналитичны в некоторой области.

Проблема разделения движений состоит в нахождении такой замены после выполнения которой уравнения (47.1) приводятся к виду

В этой системе уравнения для медленных переменных отделились и могут исследоваться независимо.

Для приведения системы (47.1) к виду (47.2) будем пользоваться изложенными выше идеями: вырожденная система (47.1) допускает -параметрическую группу Ли трансляций по переменным Система, которую надлежит получить (47.2), обладает тем же свойством.

Дальнейшие упрощения алгоритма могут быть достигнуты посредством гамильтонизации системы (47.2), поскольку при этом преобразовывать придется не уравнений, а одну скалярную функцию. Необходимую гамильтонизацию осуществим

введением сопряженных к переменных и, у так, что функция Гамильтона запишется в виде

Замену переменных, решающую задачу разделения движений, будем искать в классе канонических замен, приводящих гамильтониан (47.3) к виду, соответствующему уравнениям (47.2). В отличие от метода Пуанкаре—Цейпеля канонические замены будем строить не с помощью производящей функции, а с помощью генератора Ли (см. разд. 46). Преимущество такого подхода уже проявляется, например, в том, что он позволяет получить уравнения замены сразу в явном виде, не требуя их разрешения, неизбежного при использовании производящей функции.

Генератор Ли представляет собой функцию Гамильтона некоторой вспомогательной гамильтоновой системы

(x — некоторая новая независимая переменная, не имеющая смысла времени).

Пусть общее решение этой системы известно:

где — начальные значения при

Функции (47.4) представляют однопараметрическую группу Ли канонических замен фазовых переменных Эти замены и будем использовать для преобразования гамильтониана (47.3).

Оператор группы (47.4) имеет вид

Функции (47.4), определяющие группу, в соответствии с разд. 35 могут быть записаны с помощью рядов Ли:

где — скобки Пуассона.

В отличие от одночастотного случая негамильтоновой системы, рассмотренного выше, в данном случае нет необходимости пользоваться формулой Хаусдорфа, поскольку преобразовывать нужно не сами уравнения (точнее, их оператор), а функцию Гамильтона.

Новая функция Гамильтона выражается через старую, записанную в новых переменных, тем же рядом Ли:

Как и раньше требуем, чтобы гамильтониан К не зависел от для

Введем обозначения для асимптотик:

Из формулы (47.8) для введенных асимптотик следует цепочка соотношений

Как и в случае изложенного в разд. 46 алгоритма, рассмотрим первую скобку Пуассона в гамильтониане

Так как то, не выходя за рамки асимптотики можно написать

и выражение для приобретает вид

где зависит лишь от младших по отношению к асимптотик генератора Ли;

Учитывая, что в соответствии с цепочку соотношений для можно переписать в виде

Соотношения (47.10) задают связь между гамильтонианом исходной задачи (47.3) и гамильтонианом преобразованной при помощи замены (47.4) задачи, где — пока что неизвестный генератор. Будем искать генератор Ли из условия исключения из преобразованного гамильтониана переменной

Для этого выберем в виде

Выделяя эту среднюю часть, гамильтониан Н можно записать в форме

Подставляя (47.12) в (47.10), получим уравнение для нахождения которое запишем в покоординатной форме:

Частное решение этого уравнения дается следующей квадратурой:

После выполнения интегрирования в (47.14) вместо следует подставить Предполагается, что Если в нуль обращается, то следует переобозначить частоты.

Самым существенным для всего дальнейшего свойством выбранного частного решения (47.14) является его линейность по переменным и Это влечет за собой линейность по тем же переменным выражения которое, выделяя временное среднее, аналогично (47.11) можно представить в виде

Подставляя это соотношение в выражение для из (47.10), получим

Оно отличается от уравнения (47.13) только неоднородными членами, следовательно, его частное решение дается квадратурой, аналогичной (47.14). По индукции получаем, что в любом приближении генератор Ли определяется формулой

В результате гамильтониан приводится к виду

в котором отсутствует зависимость от и он линеен по Уравнения движения с новым гамильтонианом получаются такими:

Задача разделения движений решена. Для нахождения решения системы (47.1) следует решение системы (47.16) подставить

в уравнения замены (47.6), которые можно записать в виде

Если генератор не совпадает с точным (неподвижная точка описанной рекурентной схемы), то в выражениях (47.17) члены, содержащие и более высокого порядка можно опустить.

Так как замена (47.17) и уравнения (47.16) не содержат переменных и то повышение размерности задачи за счет введения сопряженных переменных оказывается фиктивным и не приводит к осложнениям ни на одном из этапов решения.

Построенный выше метод разделения движений относится к так называемому нерезонансному случаю, который характеризуется тем, что введенное в (47.11) временное среднее совпадает с пространственным средним:

В этом случае асимптотики генератора Ли (47.15) оказываются ограниченными функциями — непрерывными функциями При этом вычисление средних типа (47.11) можно заменить вычислением по формуле (47.18).

Назовем резонансом в первом приближении (см. разд. 22) такое линейное условие на частоты

для которого временное среднее не совпадает с пространственным: , т. е. условие (47.19) определяет поверхность разрыва в пространстве медленных переменных У временного среднего как функции При этом полагается непрерывной, если члены, содержащие разрывы, имеют порядок и выше. В (47.19) — матрица с целочисленными коэффициентами — кратность резонанса).

Резонансом в приближении называется соответствующее условие для функции Система называется нерезонансной до приближения включительно, если непрерывна. Подчеркнем, что резонансом называется не произвольное соотношение (47.19), а лишь то, которое связано со свойствами разрывности функции .

Если имеет место резонансный или близкий к нему случай, то качество асимптотических решений ухудшается за счет появления в (47.15) либо секулярных членов, либо малых знаменателей. В этом случае необходимо перед выполнением очередного

шага (если резонанс в приближении, то этот шаг связан с вычислением ) осуществить регуляризацию задачи посредством сведения ее к нерезонансному случаю.

Регуляризация задачи осуществляется следующим образом. Пусть имеем дело с резонансом порядка и до порядка включительно рассмотренная процедура разделения движений уже выполнена. Проведение такой процедуры в первом приближении описано в разд. 24. Преобразованный гамильтониан имеет вид

Временное среднее

является разрывной на поверхности (47.19) функцией что и свидетельствует о резонансе в приближении. (Если со не зависит от то наличие резонанса связано с разрывностью по (0.)

Если указанная поверхность не проходит через область интересующих нас изменений то случай может трактоваться как нерезонансный, и для продолжения процедуры никакой регуляризации не требуется. Если же нас интересует поведение системы в малой окрестности поверхности

то следует выполнить каноническую замену по формулам

где — блочная матрица — единичная матрица (без ограничения общности полагаем

Замена (47.22) является канонической, поскольку она порождается производящей функцией

Скалярные произведения в (47.20) типа сор можно понимать как матричные, условившись считать первый вектор в произведении строкой, а второй — столбцом.

В результате замены (47.22) гамильтониан (47.20) приобретает

Первое слагаемое этого выражения распишем в покоординатной форме:

Видно, что последние X слагаемых имеют порядок малости 8 и должны быть отнесены к возмущенной части гамильтониана.

Это означает, что число быстрых переменных уменьшилось и стало равным Указанный резонанс устранен, и к гамильтониану (47.23) может быть применена изложенная выше нерезонансная процедура. Осреднение следует производить по оставшимся быстрым переменным.

Поясним смысл «околорезонансного» условия (47.21). Если не зависит от (система квазилинейна), то - не зависящая от движения системы постоянная — называется расстройкой и может выбираться как угодно малой. Если со зависит от У (система существенно нелинейна), то на временах порядка переменные У могут измениться на конечную величину, что приводит к изменению на конечную величину и вектора (см. разд. 24). Формальное введение малого параметра в (47.21) осуществляется в зависимости от поставленной конкретной задачи и, в частности, может быть выполнено так. Пусть изучаются движения, близкие к некоторому стационарному: — условие резонанса. Произведем каноническую замену: Поскольку в силу условия стационарности то наличие в замене не нарушает стандартной формы системы, а околорезонансное условие принимает нужный формальный вид, в котором в стоит явным множителем перед функцией, выражающей собой переменную расстройку. Этот прием приводит к цели, если т. е. резонанс, по крайней мере, во втором приближении. Если же (резонанс в первом приближении), то для сохранения стандартной формы следует делать замену:

Отметим два случая упрощения изложенного алгоритма.

Первый случай. Система (47.1) уже гамильтована. Ее гамильтониан ). Очевидно, вводить сопряженные импульсы уже не требуется, указанная выше процедура преобразования гамильтониана сохраняется. Формулы (47.10) приобретают более простой вид:

При этом приобретает тот же формальный вид, что и раньше а уравнение для генератора упрощается:

Его решение дается более простой, чем (47.14), квадратурой:

После выполнения интегрирования вместо следует подставить

Преобразованный гамильтониан оказывается не зависим от метод эквивалентен методу Пуанкаре—Цейпеля с той лишь разницей, что, в отличие от аппарата производящих функций, здесь использован аппарат генераторов Ли.

Второй случай. Система (47.1) гамильтована, однако ее гамильтониан неавтономен и зависит от времени периодически. Введением новой переменной и сопряженного ей импульса (к гамильтониану следует добавить член этот случай сводится к предыдущему.

Пример. Уравнение Дуффинга

после замены приводится к системе, гамильтониан которой

Формально заменяя в этом выражении , и) на , по формуле (47.11) найдем

Уравнение (47.13) примет вид

Его решение в соответствии с формулой (47.14) получается следующим:

При подстановке в (47.10) идно, что — временное среднее не совпадает с пространственным (оба средних вычисляются от выражения Это означает, что имеем дело с резонансом во втором приближении и для продолжения

процедуры следует произвести регуляризацию задачи. Для регуляризации выполняется каноническая замена (47.22):

После чего осреднение осуществляется по переменной

Это и есть второе приближение для гамильтониана, которым и ограничимся. В соответствии с этим гамильтонианом получаем систему, в которой медленные движения отделены от быстрых до второго порядка включительно с учетом имеющегося резонанса:

По формулам (47.17) найдем связь старых переменных с новыми:

Или в исходной переменной

В рассмотренной задаче можно было обойтись и без введения сопряженных переменных, поскольку исходная система может быть записана в гамильтоновой форме сразу.