12. Список правил построения общего решения неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений

В этом разделе собраны в требуемой последовательности формулы по которым строится общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений, и указаны операции, которые при этом требуется выполнить.

Заданная система дифференциальных уравнений (10.3)

переписывается в виде матричного уравнения

Для матрицы находятся корни характеристического уравнения . В приводимых в этом параграфе формулах действительные корни обозначены через комплексные корни — через От общее число корней

Если у характеристического уравнения есть кратные корни, то для матрицы вычисляется детерминантный делитель (общий наибольший делитель миноров порядка) и по формуле (4.3) соответствующий инвариантный множитель

Инвариантный множитель разлагается на элементарные делители типа

Вычисляется присоединенная к матрица по следующему правилу: на место каждого элемента матрицы ставится его алгебраическое дополнение, далее транспонированием состав ленной матрицы получается присоединенная матрица .

Рассмотрим сначала случай, когда все элементарные делители линейны:

Для корня кратности вычисляется матрица берутся в качестве модальных столбцов линейнонезависимых столбцов этой матрицы, после чего вычисляются линейно-независимых матриц-строк из матричного алгебраического уравнения (11.2):

Эти вычисления проводятся для всех корней, как действительных, так и комплексных. Соответствующие действительным корням матрицы переобозначаются через

Находятся собственные модальные столбцы по формулам для действительных корней, Для комплексных корней. В соответствии с формулами (11.5) вводятся матрицы-строки

При этом следует помнить, что для действительного корня кратности имеется матриц-строк при их вычислении изменяются а множитель остается неизменным; аналогично для комплексных корней кратности имеется матриц-строк при их вычислении изменяются а множитель остается неизменным.

Вводятся произвольные постоянные и находятся скалярные функции

Составляются матриц-столбцов по формулам (7.9)

Вводятся матрица-столбец и матрица после чего находится общее решение (11.8) неоднородного матричного уравнения (10.1)

где — целая часть

Выписывается общее решение для неизвестных в скалярной форме:

На этом заканчивается построение общего решения, если элементарные делители матрицы линейны.

Если же среди элементарных делителей матрицы имеются нелинейные делители, то общее решение матричного уравнения (10.1) находится по формулам (10.20) и (10.21):

Общее решение однородного уравнения строится по правилам, изложенным в разд. 8.

Производные х могут быть вычислены или прямым дифференцированием, или по формулам (11.22).