Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 17. Механические колебательные системы. Спектральные свойстваУравнения движения консервативных линейных механических систем представляют собой частный вид уравнений (5.4), обычно записываемый в форме
где А и С — симметрические, положительно определенные матрицы. Разыскиваем решение системы (17.1) в виде
где
Система линейных однородных уравнений (17.2) разрешима с
Это характеристическое уравнение порядка Теорема. Уравнение частот имеет только вещественные и положительные корни. Доказательство. Пусть X — комплексный корень и ему соответствует комплексное решение
Получаем
откуда находим
Поскольку система вещественная, то имеется и комплексно сопряженный корень Проделывая аналогичную выкладку, получаем
В силу симметричности матриц А и С
т. е. Следовательно, уравнение частот имеет
Теорема. Если среди корней уравнения частот нет кратных, то собственные векторы являются Л-ортогоналъными, т. е.
Доказательство. Из уравнения (17.2) имеем
Умножая первое скалярно на
Вычитая одно из другого:
откуда, если
Векторы А-ортогональны. Если
Нормируя вектор Следствие. Векторы
откуда следует, что
— противоречие. Следовательно, общее решение системы (17.1) есть
Векторы
называются главными колебаниями системы. Для перехода к нормальным координатам в системе (17.1) используется матрица перехода, составленная из амплитудных векторов, т. е. переход
где
Подставляя это преобразование в (17.1) и умножая полученную систему слева на
Однако в силу
имеем
так что система (17.5) имеет вид
Координаты Все вышесказанное получено в предположении отсутствия кратных корней в уравнениях частот. Все остается справедливым и в случае кратных частот (следует из известной в алгебре теоремы о приведении пары форм к главным осям). При решении уравнений (17.2) для кратного корня размерность пространства решений равна кратности корня. Выбор независимых решений из этого пространства осуществляется с использованием процедуры ортогонализации. Системами вида (17.1) не исчерпывается класс линейных колебательных систем, поскольку добавление гироскопических сил не меняет положительности корней уравнений частот. Будем рассматривать линейную гироскопическую систему общего вида
где А — матрица кинетической энергии; С — матрица потенциальной энергии; обе симметрические и положительно определенные; Г — кососимметрическая матрица: Будем для системы (17.6) интересоваться поведением собственных частот при изменении матриц Пусть
Подставляя это решение в (17.6), получим
Как и ранее, для существования ненулевого решения требуется
Если
В этой системе уже все три матрицы симметрические. Наряду с механической системой (17.6) можно рассматривать механическую систему вдвое большей размерности, которая уже не является гироскопической и матрица потенциальной энергии которой отрицательно определена:
Разыскивая ее решение в виде Некоторые свойства решений (17.10) устанавливает следующая лемма. Лемма 1. Пусть
Доказательство. Покажем, что всем условиям удовлетворяет вектор (Е — единичная матрица):
Подставим это выражение в уравнение (17.10), в котором положим
Нетрудно видеть, что
Получаем уравнение для вектора Характеристическая функция. Умножим (17.10) скалярно на
Перенося член
Если Лемма 2. Решения алгебраической системы (17.10) и только они являются критическими точками функции Доказательство. Продифференцируем соотношение (17.13) по
Покажем, что выражение в квадратных скобках отлично от нуля для
Подставляя это значение в соотношение (17.13), получим
что невозможно в силу положительной определенности Г и V. Следовательно, Лемма 3. Функция Доказательство. Введем обозначения Из (17.14) найдем
Дифференцируя, получим Характеристическая поверхность. Будем считать, что в
Рассмотрим в этом пространстве гиперповерхность П, определяемую уравнением
Подставляя отсюда
Уравнение (17.18) определяет замкнутую поверхность восьмого порядка. Луч, выпущенный из начала координат в любом направлении, пересекает ее в двух точках, соответствующих разным знакам в (17.16). Лемма 4. Вектор Доказательство. Подставляя Лемма Дока зательство. Рассматривая (17.16) и опираясь на лемму 1, получим
такие, что Будем считать, что для введенной в лемме 5 системы векторов (17.19) соответствующие характеристические числа расположены в порядке возрастания их модулей:
Очевидно,
Поскольку каждая из ветвей Пусть Лемма Доказательство. Рассмотрим механическую систему (17.11), на которую наложена дополнительно связь Рассмотрим сечение поверхности Лемма 7. Для любого Доказательство. Пусть Теорема о поведении собственных частот при изменении жесткости. Пусть даны две механические системы вида (17.6), имеющие одинаковые матрицы кинетической энергии и гироскопических сил. Матрицы потенциальной энергии Теорема. При увеличении жесткости системы (17.6), где А и С положительно определены, Доказательство. Из неравенства Следствие 1. При Следствие 2. Будем называть систему обладающей большей массой, если для любого Для доказательства достаточно показать аналогично лемме 3 монотонное убывание Следствие 3. Требование положительной определенности С может быть заменено требованием неотрицательности: Замечание. Доказанная теорема носит глобальный характер. Локальный результат, когда поведение частот изучается при малой вариации матрицы С, уже мог следовать из лемм 2 и 3. Поведение собственных частот при изменении гироскопических сил. Перепишем систему (17.6) в виде
где выделен скалярный параметр Н, определяющий норму матрицы гироскопических сил. Представляет интерес изучение поведения собственных частот системы при Введем следующие определения. Прецессионной системой, определяемой системой (17.21), называется следующая система:
Нутационной системой, определяемой (17.21), называется система
Теорема. Если в системе (17.21) С — положительно определена и Доказательство. Прежде всего заметим, что условие
и если Покажем это. Сделаем замену времени
и обозначим
Рассматриваем это уравнение как неявную функцию, определяющую со
Нулевых корней не больше чем
Точками обозначены члены высшего порядка малости по а, т. е. частное решение имеет вид
откуда и следует первая группа частот
Если среди ненулевых корней (17.25) имеется кратный кратности Для рассмотрения второй группы частот выполняется иная замена времени:
Рис. 1 При
Откуда и следует вторая группа частот (после возвращения к исходному времени):
Случай кратных корней трактуется таким же образом, как и в предыдущем рассуждении. Теорема доказана. Если в условии теоремы Суммируя все случаи, приходим к заключению. Если С — положительно определена, то при Вынужденные колебания линейных механических систем. Решение задачи о вынужденных колебаниях может быть получено с использованием общих результатов, приведенных в разд. 12. Однако в частных случаях бывает удобно пользоваться более простыми приемами, приводимыми ниже. Рассмотрим вначале линейный одномерный осциллятор
для которого требуется построить частное периодическое решение, имеющее тот же период, что и период неоднородного члена. В силу принципа суперпозиции интересующее нас решение будет представлять собой вещественную часть соответствующего частного решения следующего уравнения:
Разыскивая решение этого уравнения в виде
находим
откуда
где
Выражения (17.27) определяют амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики одномерной линейной колебательной системы. Они изображены на рис. 2 и 3 в виде семейств кривых Амплитуда вынужденных колебаний принимает максимальное значение в окрестности точки
Частное решение этого уравнения разыскиваем в виде
Подлежащая определению функция
Рис. 2
Рис. 3 Подставляя это решение в уравнение, найдем
Для того чтобы это соотношение выполнялось тождественно, достаточно положить
Таким образом, функция Грина удовлетворяет указанной начальной задаче Коши для соответствующего однородного уравнения и, следовательно, имеет вид
Таким образом, частное решение при произвольном свободном члене имеет вид
Это частное решение, как следует из изложенного, удовлетворяет нулевым начальным условиям:
Будем полагать, что гармоническая внешняя сила приложена по
Переходя к нормальным координатам
или в покоординатной форме:
Решение этой системы имеет вид
Рис. 4
Рис. 5 Или же, возвращаясь к старым координатам, найдем
Коэффициенты Диссипа тивные системы:
Поступаем так же, как и в случае одномерной системы, т. е. заменим написанное уравнение следующим:
Частное периодическое решение исходного уравнения получается как вещественная часть соответствующего решения написанного:
Для вектора амплитуд I получается система алгебраических уравнений
Решая ее по правилу Крамера, получаем для
где А — определитель системы (17.28), а
Функция
определяет амплитудно-частотную характеристику колебаний по 5-й координате при возбуждении по
|
1 |
Оглавление
|