29. Метод двух масштабов

Этот метод, нашедший широкое применение для уравнений в частных производных, идейно близок к методу осреднения, однако отличается от него по форме. Мы рассмотрим его на простых примерах. Разнообразные частные детали, неизбежно возникающие в общем случае, могут быть опущены. Важно уяснить центральную идею, после чего приспособление ее к той или иной конкретной задаче, как правило, не представляет труда.

В качестве первого примера рассмотрим уравнение линейного осциллятора с малым демпфированием:

будем искать его решение в виде следующего ряда:

Здесь переменные представляют собой «быстрое» и «медленное» время:

"Неизвестные функции и константы будем искать из условия отсутствия в секулярных членов по переменным 0 и .

Последовательно дифференцируя у по находим

Подставляя эти выражения в уравнения (29.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему уравнений для нахождения

Из первого уравнения находим, что

Так как рассматриваемое уравнение является уравнением в частных производных, в которые входят производные только по переменной 0, то произвольные постоянные 40 и могут считаться зависящими от и они будут определены в дальнейшем. Подставляя во второе уравнение это решение, получаем

Общее решение этого уравнения имеет вид

Это решение является неограниченным по переменной .

Весь смысл введения двух масштабов времени заключается в том, чтобы, распоряжаясь имеющимся произволом, обеспечить отсутствие секулярных членов в как по быстрой, так и по медленной переменным.

Из уравнения для видно, что для ограниченности по необходимо и достаточно, что в правой части уравнения (29.4) отсутствовали члены, пропорциональные Это приводит к соотношениям

из которых находятся

где — произиольные постоянные.

В ряде (29.2) функция оказывается полностью определенной:

Или, возвращаясь к исходному времени по формулам (29.3), получаем решение рассматриваемого уравнения (29.1) в первом приближении излагаемого метода:

В первом приближении не возникает необходимости устранять секулярные члены по медленному временит, однако уже во втором приближении это требуется сделать. Для выяснения, как это происходит, обратимся к построению второго приближения. Подставляя функции (29.5) и (29.6) в уравнение для получаем

Условие ограниченности по 0, как и рапьше, приводит к соотношениям вида

откуда находим

Для того чтобы в этом решении исчезли секулярные члены по необходимо и достаточно выбрать так: Итак, полностью построено второе приближение и решение исходной задачи приобретает вид

Замечание. Требование отсутствия секулярных членов по 0 является естественным, в противном случае мы получили бы ряд (29.2) с неограниченными коэффициентами и качество представления решения конечным отрезком такого ряда было бы неудовлетворительным. Гораздо менее естественным в рассмотренном примере может показаться требование отсутствия секулярных членов по поскольку функция ограниченная и, казалось бы, нет большой нужды в ее устранении. Однако это не так. На интервале времени те [0, 1] эта функция возрастает. Но этому интервалу времени по соответствует асимптотически большой

интервал времени по . А так как точность метода осреднения (а также и метода двух масштабов) гарантируется именно на таких интервалах времени, то функции вида должны рассматриваться в рамках описываемого метода, как качественно эквивалентные функции

В качестве следующего примера рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля

Разыскивая решение этого уравнения в виде ряда (28.2) для нахождения членов этого ряда, получаем

Форму представления общего решения первого уравнения в этом примере мы выберем иной, чем в предыдущем:

Подставляя это решение в правую часть второго уравнения, находим

Или, используя тождество

приводим это уравнение к следующему виду:

Условия ограниченности решений по 0 приводят к соотношениям

Эти уравнения интегрируются точно, что и позволяет записать в явном виде решения первого приближения. В частности, стационарный режим, который представляет собой предельный цикл,

или режим автоколебаний, определяется условием

откуда нетривиальное решение