Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 29. Метод двух масштабовЭтот метод, нашедший широкое применение для уравнений в частных производных, идейно близок к методу осреднения, однако отличается от него по форме. Мы рассмотрим его на простых примерах. Разнообразные частные детали, неизбежно возникающие в общем случае, могут быть опущены. Важно уяснить центральную идею, после чего приспособление ее к той или иной конкретной задаче, как правило, не представляет труда. В качестве первого примера рассмотрим уравнение линейного осциллятора с малым демпфированием:
будем искать его решение в виде следующего ряда:
Здесь переменные
"Неизвестные функции Последовательно дифференцируя у по
Подставляя эти выражения в уравнения (29.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
Из первого уравнения находим, что
Так как рассматриваемое уравнение является уравнением в частных производных, в которые входят производные только по переменной 0, то произвольные постоянные 40 и
Общее решение этого уравнения имеет вид
Это решение является неограниченным по переменной Весь смысл введения двух масштабов времени заключается в том, чтобы, распоряжаясь имеющимся произволом, обеспечить отсутствие секулярных членов в Из уравнения для
из которых находятся
где В ряде (29.2) функция
Или, возвращаясь к исходному времени
В первом приближении не возникает необходимости устранять секулярные члены по медленному временит, однако уже во втором приближении это требуется сделать. Для выяснения, как это происходит, обратимся к построению второго приближения. Подставляя функции (29.5) и (29.6) в уравнение для
Условие ограниченности
откуда находим
Для того чтобы в этом решении исчезли секулярные члены по
Замечание. Требование отсутствия секулярных членов по 0 является естественным, в противном случае мы получили бы ряд (29.2) с неограниченными коэффициентами и качество представления решения конечным отрезком такого ряда было бы неудовлетворительным. Гораздо менее естественным в рассмотренном примере может показаться требование отсутствия секулярных членов по интервал времени по В качестве следующего примера рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля
Разыскивая решение этого уравнения в виде ряда (28.2) для нахождения членов этого ряда, получаем
Форму представления общего решения первого уравнения в этом примере мы выберем иной, чем в предыдущем:
Подставляя это решение в правую часть второго уравнения, находим
Или, используя тождество
приводим это уравнение к следующему виду:
Условия ограниченности решений по 0 приводят к соотношениям
Эти уравнения интегрируются точно, что и позволяет записать в явном виде решения первого приближения. В частности, стационарный режим, который представляет собой предельный цикл, или режим автоколебаний, определяется условием
откуда нетривиальное решение
|
1 |
Оглавление
|