Возьмем модальные столбцы и произвольные постоянные, соответствующие корням
взаимно сопряженными:
Будем называть
собственными модальными столбцами; в случае действительных корней будем считать модальные столбцы также и собственными модальными столбцами, полагая
Общее решение (5.10) переписывается в виде
Введем модальную матрицу
составленную из
собственных модальных столбцов, и обозначим через
матрицу-столбец
Будем считать, что элементы этой матрицы определяются формулами
Решение (7.2) с учетом формул (7.3) — (7.5) переписывается в виде
Отсюда находим
Решение (7.6) и представляет собой действительную форму общего решения.
Решение (7.2) можно также представить в другой форме. Для этого введем матрицу
столбцы которой определяются соотношениями
Наконец, обозначим через с матрицу-столбец из произвольных постоянных
Решение (7.2) с учетом формул (7.8) — (7.10) перепишем в виде
Отсюда имеем
Матрицы
могут быть представлены с помощью матрицы Кейли
(см. разд. 3). Используя формулы (3.3), (3.12) — (3.14), вместо формул (7.4), (7.5), (7.8) — (7.10) получаем следующие
формулы:
Общее решение (7.11) может быть представлено в виде