15. Список правил перехода к нормальным координатам Булгакова

В этом разделе собраны в требуемой последовательности формулы, по которым выполняется переход к нормальным координатам Булгакова, и указаны операции, которые при этом требуется выполнить.

Заданная система дифференциальных уравнений (10.3)

переписывается в виде матричного уравнения (10.1)

Для матрицы находятся корни характеристического уравнения Используемые в формулах действительные корни обозначены через комплексные корни — через общее число корней

Рассматриваются только системы с элементарными линейными делителями, т. е.

где детерминантный делитель общий наибольший делитель миноров порядка.

Вычисляется присоединенная к матрица по следующему правилу: на место каждого элемента матрицы ставится его алгебраическое дополнение, далее транспонированием составленной матрицы получается присоединенная матрица

Для корня кратности вычисляется матрица берутся в качестве модальных столбцов линейно-независимых столбцов этой матрицы, после чего вычисляются линейно-независимых матриц-строк из матричного алгебраического уравнения (11.2)

Эти вычисления проводятся для всех корней, как действительных, так и комплексных.

Для действительных корней вводятся собственные модальные столбцы и матрицы-строки по формулам

Для комплексных корней модальные столбцы переобозначаются следующим образом (см. (14.12)):

В соответствии с формулами (11.5) вводятся матрицы-строки

При этом следует помнить, что для действительного корня кратности имеется матриц-строк при их вычислении

изменяется а множитель остается неизменным. Аналогично для комплексных корней кратности имеется матриц-строк при их вычислении изменяется а множитель остается неизменным.

Вместо неизвестных переменных вводятся линейным преобразованием (14.13) неизвестные нормальные координаты

Здесь — элементы матрицы представляющей собой целую часть — элементы собственного модального столбца — модули элементов модального столбца

Для нормальных координат выписывается система дифференциальных уравнений (первая группа системы (14.6) и система

Здесь — элементы матриц-строк соответственно.

Для вычисления производной от неизвестных производных в соответствии с (11.13), (11.14), (14.16) вводятся следующие обозначения:

Производная от неизвестной порядка выражается формулой (14.7)

По этой формуле вычисляются через нормальные координаты производные причем порядок производной может принимать значения от 0 до где — порядок старшей производной от в системе уравнений (10.3).