Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 58. Вынужденные колебания системы с двумя ударными парамиРассмотрим механическую систему, изображенную на рис. 69. Абсолютно жесткая вилка совершает вертикальные гармонические колебания. Два шарика одинаковой массы падают на вилку в поле тяжести. Шарики соединены пружиной так, что расстояние между шариками при недеформированной пружине равно ширине вилки. Система обладает очевидным периодическим решением: шарики подпрыгивают синфазно, пружина не деформируется. Это движение эквивалентно движению одного шарика на вибрирующей плоскости. В связи с системой на рис. 69 возникает вопрос: как на устойчивость движения влияет пружина? Попытка ответить на этот вопрос при помощи метода припасовывания приводит к столь необозримым результатам, что возможность их качественного анализа сводится на нет. Будем полагать, что выбором масштабов массу шариков и ускорение свободного падения можно сделать равными единице. Тогда лагранжиан системы имеет вид
где Обобщенные силы:
Обобщенные силы характеризуют силы инерции переносного движения и силы демпфирования. Односторонняя связь: В соответствии с общим подходом к исследованию систем с односторонними связями, изложенным в разд. 27, осуществим замену переменных
Рис. 69 В новых переменных лагранжиан имеет вид
Обобщенные силы:
Связь в новых переменных исключена. Поскольку квадратичная форма обобщенных скоростей в лагранжиане сохранила каноническую структуру, уравнения движения можно получить при помощи уравнений Лагранжа:
Будем считать малыми параметрами в полученной системе коэффициенты
Нетрудно видеть, что общим решением уравнения (58.2) является
где В системе (58.1) осуществим переход к новым переменным
Уравнения (58.1) в новых переменных в разрешенном относительно старших производных виде перепишутся так:
При получении этих уравнений были использованы соотношения между функциями Система (58.4) представляет собой систему стандартного вида с двумя медленными
Введем в соответствии с обычной процедурой метода осреднения в этом случае две медленные фазы:
Эти соотношения позволяют исключить из рассмотрения фазы
где
Система (58.5) допускает стационарный режим:
Это и есть искомый стационарный режим с синфазным движением шариков при недеформированной пружине. Если бы пружина отсутствовала, то устойчивому режиму соответствовал бы в (58.6) знак «плюс». Изучим устойчивость решения (58.6). При составлении уравнений в вариациях для системы (58.5) будем иметь в виду соотношения
Уравнения в вариациях относительно изучаемого стационарного режима имеют вид
Характеристическое уравнение этой системы относительно
Откуда следуют условия устойчивости:
Первое условие, как и в задаче без пружины, говорит о том, что устойчивым может быть лишь режим, соответствующий верхнему знаку в (58.6). Учитывая, что из (58.6) для этого режима следует
второе из условий устойчивости в (58.7) можно переписать следующим образом:
Из этого условия видно, что при достаточно малой жесткости пружины
|
1 |
Оглавление
|