58. Вынужденные колебания системы с двумя ударными парами

Рассмотрим механическую систему, изображенную на рис. 69. Абсолютно жесткая вилка совершает вертикальные гармонические колебания. Два шарика одинаковой массы падают на вилку в поле тяжести. Шарики соединены пружиной так, что расстояние между шариками при недеформированной пружине равно ширине вилки.

Система обладает очевидным периодическим решением: шарики подпрыгивают синфазно, пружина не деформируется. Это движение эквивалентно движению одного шарика на вибрирующей плоскости. В связи с системой на рис. 69 возникает вопрос: как на устойчивость движения влияет пружина?

Попытка ответить на этот вопрос при помощи метода припасовывания приводит к столь необозримым результатам, что возможность их качественного анализа сводится на нет.

Будем полагать, что выбором масштабов массу шариков и ускорение свободного падения можно сделать равными единице. Тогда лагранжиан системы имеет вид

где — жесткость пружины.

Обобщенные силы:

Обобщенные силы характеризуют силы инерции переносного движения и силы демпфирования.

Односторонняя связь: .

В соответствии с общим подходом к исследованию систем с односторонними связями, изложенным в разд. 27, осуществим замену переменных по формулам

Рис. 69

В новых переменных лагранжиан имеет вид

Обобщенные силы:

Связь в новых переменных исключена.

Поскольку квадратичная форма обобщенных скоростей в лагранжиане сохранила каноническую структуру, уравнения движения можно получить при помощи уравнений Лагранжа:

Будем считать малыми параметрами в полученной системе коэффициенты . Решение ее будем строить методом осреднения. Порождающая система (при состоит из двух уравнений вида

Нетрудно видеть, что общим решением уравнения (58.2) является

где — произвольные постоянные — см. разд. 27, рис. 25.

В системе (58.1) осуществим переход к новым переменным по формулам

Уравнения (58.1) в новых переменных в разрешенном относительно старших производных виде перепишутся так:

При получении этих уравнений были использованы соотношения между функциями из разд. 27.

Система (58.4) представляет собой систему стандартного вида с двумя медленными и тремя быстрыми переменными. Рассмотрим резонансный случай:

Введем в соответствии с обычной процедурой метода осреднения в этом случае две медленные фазы:

Эти соотношения позволяют исключить из рассмотрения фазы после чего в системе остается лишь одна быстрая фаза Осредняя полученные уравнения по найдем

где

Система (58.5) допускает стационарный режим:

Это и есть искомый стационарный режим с синфазным движением шариков при недеформированной пружине. Если бы пружина отсутствовала, то устойчивому режиму соответствовал бы в (58.6) знак «плюс».

Изучим устойчивость решения (58.6). При составлении уравнений в вариациях для системы (58.5) будем иметь в виду соотношения

Уравнения в вариациях относительно изучаемого стационарного режима имеют вид

Характеристическое уравнение этой системы относительно может быть получено в виде

Откуда следуют условия устойчивости:

Первое условие, как и в задаче без пружины, говорит о том, что устойчивым может быть лишь режим, соответствующий верхнему знаку в (58.6).

Учитывая, что из (58.6) для этого режима следует

второе из условий устойчивости в (58.7) можно переписать следующим образом:

Из этого условия видно, что при достаточно малой жесткости пружины устойчивость имеет место; начиная с некоторого значения этой жесткости, при дальнейшем ее увеличении оба режима (58.6) становятся неустойчивыми. Причем с увеличением амплитуды и частоты возбуждения область устойчивости расширяется, с увеличением демпфирования сужается. Демпфирование здесь играет дестабилизирующую роль.