56. Прецессия стоячих волн во вращающемся упругом растяжимом кольце

В предыдущем разделе эффект инертности упругих волн оказался никак не зависящим от упругих характеристик материала кольца. Это связано с предположением о нерастяжимости срединной линии кольца при изгибаниях. Представляет интерес выяснить, как растяжимость кольца сказывается на обнаруженном эффекте. Уравнения колебаний вращающегося растяжимого кольца имеют вид [321

Здесь — перемещение точек срединной линии кольца в процессе деформации вдоль касательной к недеформированной линии; — вдоль радиуса; — параметры, зависящие от размеров кольца и от упругих свойств материала.

Предполагая в дальнейшем рассматривать лишь малые угловые скорости , в этих уравнениях пренебрежено членами

Общее решение порождающей системы имеет вид

где частоты определяются соотношением

а коэффициенты соответствующие корням и имеют вид

Для избежания излишне громоздких выкладок мы будем пользоваться иногда не самими выражениями для а их асимптотиками при больших

Для того чтобы решить полную систему (56.1), будем рассматривать уравнения (56.2) в качестве замены переменных наложив на новые переменные дополнительные условия:

Подставляя функции (56.2) в уравнения (56.1) и учитывая соотношения (56.6), получаем

Приравнивая в соотношениях (56.6) и (56.7) члены при одинаковых гармониках получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентную исходной системе в частных производных (56.1):

Параметры зависят от . В системе (56.8) искомыми являются

После разрешения системы (56.8) относительно производных и осреднения полученной системы в стандартной форме по времени находим

Точные решения (56.2) системы (56.1) для случая показывают, что каждая форма колебаний представлена двумя частотами Таким образом, например, основная возмущенная форма в виде овала может совершать колебания как с частотой примерно равной частоте колебаний по основной форме для случая нерастяжимого кольца, так и с весьма высокой частотой Колебания с частотой мы будем называть основными, колебания с частотой — побочными. Основные колебания описываются, как и раньше, переменными побочные — переменными

В осредненных уравнениях первого приближения (56.9) происходит полное разделение основных и побочных колебаний. Отличие уравнений, описывающих основные колебания в рассматриваемом случае, от случая нерастяжимого кольца заключается лишь в изменении коэффициента при Вместо (случай нерастяжимого кольца) имеем (случай растяжимого). Результат является корректным в том смысле что при "тггт в соответствии с формулами (56.5). Таким образом, прецессия основного волнового поля относительно тела кольца определяется формулой

Для растяжимого кольца рассматриваемый коэффициент пропорциональности оказывается уже зависящим не только от

номера формы, но и от размеров кольца и характеристик его материала» Правда, зависимость эта очень слабая.

Побочная форма колебаний, как следует из (56.9), будет прецессировать относительно кольца с той же скоростью, что и основная, однако в противоположную сторону. Она будет перемещаться вперед по кольцу в сторону его вращения. Этот интересный факт не имеет, по-видимому, практического значения.

Заметим, что разделение колебаний по частотам на основные и побочные никак не связано с разделением деформаций кольца на изгибные и деформации растяжения. Так, при кольцо совершает основные колебания с частотой при этом в соответствии с формулой (56.2) имеют место как изгибные деформации, которые характеризуются перемещением так и деформации растяжения, которые характеризуются комбинацией Для коэффициента можно установить следующую асимптотическую формулу:

где точками обозначены члены порядка и выше. Эта формула показывает, что учет растяжимости кольца приводит к увеличению рассматриваемого коэффициента.