59. Ударный проглотитель колебаний
Рассмотрим задачу о виброударном поглотителе колебаний (рис. 70). Пусть 
— масса основного тела, 
— масса поглотителя. Без ограничения общности примем 
— жесткость пружины.
Тогда уравнения движения этой системы могут быть записаны в следующем виде:
Рис. 70
Здесь у — относительная координата тела и поглотителя; 
— координата центра масс системы; 
— величина зазора; к — коэффициент восстановления при ударе, который в этой задаче принимается не равным единице.
Замена переменных 
по формуле
приводит задачу к системе, рассматриваемой на бесконечном интервале времени и не содержащей разрывов типа 
-функций. Вид преобразования (59.2) обеспечивает точное выполнение условий удара для любых движений, для которых 
При 
эта замена переходит в предложенную в разд. 27.
Преобразованная система имеет вид
Здесь использовано обозначение 
Учет не равного единице коэффициента восстановления приводит к тому, что система (59.3) эквивалентна системе (59.1) не для всех движений, а только для таких, для которых 
Однако во всех практически наиболее важных случаях это условие выполняется. Если же 
то соответствующие уравнения эквивалентны для любых движений.
Будем исследовать систему (59.3) методом осреднения, считая 
малыми, причем 
Напишем систему (59.3) в нормальной форме Коши, ограничиваясь малыми первого порядка:
Используем решения порождающей системы для преобразования переменных 
В новых переменных уравнения (59.4) имеют стандартную форму:
Переменные 
— медленные; переменные 
— быстрые. Изучим в системе (59.6) сложный резонанс вида
Механический смысл этого резонанса состоит в том, что внешняя сила имеет частоту, близкую к собственной частоте порождающей системы, и поглотитель движется с частотой, близкой к собственной.
В соответствии с общей процедурой исследования резонанса введем две медленные фазы:
Выражая из (59.7) 
подставляя в (59.6), найдем
В системе (59.8) осталась одна быстрая фаза — 
Осуществим но ней осреднение:
Введем для упрощения выкладок следующие обозначения:
Уравнения стационарного режима имеют вид
Они могут быть разрешены относительно неизвестных 
Выражения для 
зависят от знака в (59.12) и от знака Л. Например, если 
(дорезонансный случай), то для верхней ветви (59.12) получим
для нижней
(см. скан)
Условие существования рассмотренного типа резонанса следует из (59.12) в виде 
.
Рис. 71
Решение задачи в исходных переменных получается с учетом
Если нас интересует координата основного тела 
то она получается очевидным образом из (59.13) в виде 
при этом движение основной массы не получается гармоническим; выделяя первую гармонику, найдем выражение для ее амплитуды:
Выражение (59.14) определяет амплитудно-частотную характеристику движения главной массы (рис. 71).
