28. Об использовании обобщенных функций в задачах с ударными взаимодействиями

Если коэффициент восстановления то воспользоваться заменами типа (27.20) для точного исключения удара можно не для любых задач. Условие (или ) во все время движения бывает не всегда выполненным. В этом случае замены, осуществляемые по формулам (27.2) или (27.18), хотя и не устраняют удар полностью, приводят систему к виду, в котором величина ударного импульса пропорциональна разности и может считаться малой.

Рассмотрим этот случай подробнее.

Вернемся к рассмотрению уравнений

в которых к уже не предполагается равным единице. Выполним в этих уравнениях замену

В новой переменной эти уравнения запишутся так:

Уравнения (28.3) и (28.1) эквивалентны том смысле, что любые решения (28 3) в силу замены (28.2) будутрешениями уравнений (28.1).

Обозначая , систему (28.3) можно переписать в виде

Если считать малым параметром, то при прохождении через линию в фазовой плоскости значение скорости претерпевает скачок, пропорциональный е. Иногда условие разрыва скорости на линии пытаются заменить введением в правую часть дифференциального уравнения (28.4) дельта-функции Дирака с множителем, выражающим величину импульса, передаваемого системе. Такой дополнительный член содержит множителем малый параметр что позволяет после приведения к стандартной форме формально применить процедуру осреднения. Вопрос о том, в какой мере подобный прием является правомерным, нуждается в специальном рассмотрении.

Если обоснование метода осреднения в обычных системах заключается в установлении соответствия между решениями двух систем (точной и осредненной), то в случае дифференциальных уравнений, содержащих -функции и применяемых для описания систем с ударами, требуется решение трех вопросов:

1. Установление точного смысла записи, в которой правые части дифференциальных уравнений содержат -функции.

2. Установление соответствия между подобным объектом и исходной механической системой с ударными взаимодействиями.

3. Установление соответствия между решениями уравнений с -функциями и решениями уравнений, получаемых их осреднением.

Мы не будем здесь останавливаться на точном определении -функции, отсылая интересующихся к специальной литературе [16, 67]. Заметим только, что дифференциальные уравнения, содержащие такие функции, должны рассматриваться в пространстве обобщенных функций, а поскольку произведение обобщенных функций в общем случае не определено, то без осложнений в этом пространстве могут быть рассмотрены лишь линейные уравнения, не содержащие произведений обобщенных функций.

Рассмотрим следующий пример:

Смысл этой записи неясен, поскольку из определения -функции следует

если по крайней мере, непрерывная функция в окрестности нуля. Однако как раз в нуле и терпит разрыв. Какое же значение приписать Если написанное уравнение имеет отношение к какой-либо физической задаче, то следует предположить,

что в нем есть попытка заменить при достаточно малых в смысле слабой сходимости).

Поэтому заменим уравнение (28.5) уравнением

и рассмотрим поведение решения при

Имеем

При стремится к

Если же от уравнения (28.5) перейти к интегральному уравнению

и считать, как это часто делают, что

в случае разрывной функции то решение примет вид при

что противоречит (28.7). Если записи типа (28.5) понимать при помощи условий вида (28.8), то написанный объект приобретает ясный смысл, однако при этом уже не есть общепринятая функция Дирака, а представляет собой лишь логический символ, сигнализирующий о том, что в момент времени необходимо произвести пересчет значения решения. Разница между функцией и символом состоит в том, что для -функции справедливы многие свойства, например правила дифференцирования, замены переменной, представление рядами и т. в то время как для символа ничего, кроме (28.8), нет и перечисленные возможности -функции для него использовать нельзя. Таким образом, решается первый из поставленных трех вопросов обоснования. Рассмотрим теперь второй вопрос. Выясним, может ли система типа (28.4) быть записана при помощи функций, определяемых условием (28.8). Очевидно, что это можно сделать так:

где — момент времени пересечения линии Однако это соотношение не является замкнутым, поскольку момент заранее не известен. Попытки выйти из затруднения при помощи известного для дельта-функции правила замены независимой переменной

приводят к замкнутому уравнению!

которое нельзя считать правильным, поскольку правило (28.9), верное для -функции, необоснованно применено к символу (28.8). Но даже если бы это и была -функция, соотношение (28.9) верно лишь для непрерывных функций , чего как раз и нет.

Для того чтобы понять, как можно преодолеть возникшее затруднение, рассмотрим частный вид уравнений (28.4), в котором явно выделена колебательная природа системы:

На рис. 23 изображен отрезок фазовой траектории системы (28.10) для случая

Замена переменных по формулам

приводит эту систему к следующей эквивалентной форме:

Выбирая в качестве независимой переменной фазу получим

Вот в этой форме система и может быть записана с использованием символа .

Введем обозначение

где — символ, определяемый соотношением (28.8).

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

Рис. 25

Записи рассматриваемой системы в виде (28.13) эквивалентна следующая форма записи:

Для этой системы остается решить третий из сформулированных вопросов обоснования.

Рассмотрим конкретный пример системы с ударными взаимодействиями.

Пример. В поле сил тяжести на горизонтальную поверхность падает материальная точка (рис. 24). Удар не абсолютно упругий Кроме силы тяжести, на точку действуют силы вязкого сопротивления.

Уравнения движения точки

При помощи замены приводим эти уравнения к виду (28.4)

Будем считать малыми параметрами коэффициент демпфирования и . Приведем эту систему к стандартной форме, для чего рассмотрим вырожденную систему

Общее решение этой системы есть

а — амплитуда; — начальная фаза; — функция (рис. 25), определяемая при помощи введенной ранее функции

Проверка того, что это действительно решение основано на следующих свойствах введенных функций:

По аналогии с (28.11) выполним в исходной возмущенной системег замену

В выкладках учитывается тождество

Условие на разрыв скорости в новых переменных пересчитывается следующим образом:

Уравнения, эквивалентные исходным уравнениям (28.16), в силу выполненных замен получаются в виде

Выбирая в качестве независимой переменной получим

По аналогии с (28.15) условие на скачол можно заменить введением символа в уравнение

Уравнение (28.17) эквивалентно исходной системе (28.16). Предполагая построить первое приближение метода осреднения для этого уравнения, можно пренебречь в знаменателе членом а также и членом

Учитывая, что среднее от имеет вид

получим уравнения первого приближения метода осреднения

Поскольку в первом приближении метода то это уравнение можно переписать в виде

Решение этого уравнения:

Время существования колебательного процесса: ;

При этом

Рассмотрим решение задачи в исходной переменной и при начальных условиях (падение с высоты без начальной скорости) в частном случае

При поэтому откуда

Вид решения представлен на рис. 26. Процесс заканчивается за конечное время при этом совершается бесконечно много соударений.

Рис. 26

Резюмируя изложенное выше, констатируем:

1. Описание систем с односторонними связями (с ударными взаимодействиями тел, входящих в систему) в терминах классической обобщенной -функции Дирака некорректно. Исключение составляют системы, в которых удары возникают в результате воздействия на систему внешних по отношению к ней тел в заранее заданные моменты времени, причем так, что ни величина импульса, ни моменты удара не зависят от состояния самой системы.

2. Взамен обобщенной дельта-функции Дирака иногда возможно описание систем с односторонними связями при помощи логического символа определяемого так:

— значение разрывной в нуле функции при стремлении к нулю слева.

Однако при этом вместо независимой переменной необходимо использование быстрой фазы. Как показывает решенный пример, переход к переменной возможен лишь приближенно, в первом приближении по метода осредпения.

При использовании символа (28.19) никакими свойствами обобщенных функции для него пользоваться нельзя (дифференцирование обобщенной функции, замена переменных, ряды Фурье и т. п.).

3. При выполнении всех этих условий единственное, что требует обоснования, — переход от уравнений типа (28.15) к осредненным уравнениям, в которых при вычислении среднего от используется условие (28.19).

Решение этой задачи не представляет затруднений и осуществляется с использованием приемов, примененных при доказательстве теоремы Боголюбова (см. разд. 19):

Теорема. Пусть рассматривается система:

где - независимая переменная; функция удовлетворяет условиям теоремы Боголюбова и является периодической — скачок фазовой переменной при переходе через значение Функция в ограничена по модулю и удовлетворяет условию Липшица.

Системе (28.20) ставится в соответствие осредненная система

При выполнении указанных условий решения задач Коши с одинаковыми начальными условиями для (28.20) и (28.21) удовлетворяют неравенству

Константа С определяется системой (28.20), константа произвольная.