Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 28. Об использовании обобщенных функций в задачах с ударными взаимодействиямиЕсли коэффициент восстановления Рассмотрим этот случай подробнее. Вернемся к рассмотрению уравнений
в которых к уже не предполагается равным единице. Выполним в этих уравнениях замену
В новой переменной эти уравнения запишутся так:
Уравнения (28.3) и (28.1) эквивалентны том смысле, что любые решения (28 3) в силу замены (28.2) будутрешениями уравнений (28.1). Обозначая
Если Если обоснование метода осреднения в обычных системах заключается в установлении соответствия между решениями двух систем (точной и осредненной), то в случае дифференциальных уравнений, содержащих 1. Установление точного смысла записи, в которой правые части дифференциальных уравнений содержат 2. Установление соответствия между подобным объектом и исходной механической системой с ударными взаимодействиями. 3. Установление соответствия между решениями уравнений с Мы не будем здесь останавливаться на точном определении Рассмотрим следующий пример:
Смысл этой записи неясен, поскольку из определения
если что Поэтому заменим уравнение (28.5) уравнением
и рассмотрим поведение решения при Имеем
При
Если же от уравнения (28.5) перейти к интегральному уравнению
и считать, как это часто делают, что
в случае разрывной функции
что противоречит (28.7). Если записи типа (28.5) понимать при помощи условий вида (28.8), то написанный объект приобретает ясный смысл, однако
где
приводят к замкнутому уравнению!
которое нельзя считать правильным, поскольку правило (28.9), верное для Для того чтобы понять, как можно преодолеть возникшее затруднение, рассмотрим частный вид уравнений (28.4), в котором явно выделена колебательная природа системы:
На рис. 23 изображен отрезок фазовой траектории системы (28.10) для случая Замена переменных
приводит эту систему к следующей эквивалентной форме:
Выбирая в качестве независимой переменной фазу
Вот в этой форме система и может быть записана с использованием символа Введем обозначение
где
Рис. 22
Рис. 23
Рис. 24
Рис. 25 Записи рассматриваемой системы в виде (28.13) эквивалентна следующая форма записи:
Для этой системы остается решить третий из сформулированных вопросов обоснования. Рассмотрим конкретный пример системы с ударными взаимодействиями. Пример. В поле сил тяжести на горизонтальную поверхность падает материальная точка (рис. 24). Удар не абсолютно упругий Уравнения движения точки
При помощи замены
Будем считать малыми параметрами коэффициент демпфирования
Общее решение этой системы есть
а — амплитуда;
Проверка того, что это действительно решение основано на следующих свойствах введенных функций:
По аналогии с (28.11) выполним в исходной возмущенной системег замену
В выкладках учитывается тождество
Условие на разрыв скорости
Уравнения, эквивалентные исходным уравнениям (28.16), в силу выполненных замен получаются в виде
Выбирая в качестве независимой переменной
По аналогии с (28.15) условие на скачол
Уравнение (28.17) эквивалентно исходной системе (28.16). Предполагая построить первое приближение метода осреднения для этого уравнения, можно пренебречь в знаменателе членом Учитывая, что среднее от
получим уравнения первого приближения метода осреднения
Поскольку в первом приближении метода
Решение этого уравнения:
Время существования колебательного процесса:
При этом
Рассмотрим решение задачи в исходной переменной
При
Вид решения представлен на рис. 26. Процесс заканчивается за конечное время
Рис. 26 Резюмируя изложенное выше, констатируем: 1. Описание систем с односторонними связями (с ударными взаимодействиями тел, входящих в систему) в терминах классической обобщенной 2. Взамен обобщенной дельта-функции Дирака иногда возможно описание систем с односторонними связями при помощи логического символа
Однако при этом вместо независимой переменной При использовании символа (28.19) никакими свойствами обобщенных функции для него пользоваться нельзя (дифференцирование обобщенной функции, замена переменных, ряды Фурье и т. п.). 3. При выполнении всех этих условий единственное, что требует обоснования, — переход от уравнений типа (28.15) к осредненным уравнениям, в которых при вычислении среднего от Решение этой задачи не представляет затруднений и осуществляется с использованием приемов, примененных при доказательстве теоремы Боголюбова (см. разд. 19): Теорема. Пусть рассматривается система:
где Системе (28.20) ставится в соответствие осредненная система
При выполнении указанных условий решения задач Коши с одинаковыми начальными условиями для (28.20) и (28.21) удовлетворяют неравенству
Константа С определяется системой (28.20), константа
|
1 |
Оглавление
|